2013.4
第Ⅰ卷（ 共40分）
一、：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知全集 ，集合 ， ，那么
2．若复数 的实部与虚部相等，则实数
3．执行如图所示的程序框图．若输出 ，则输入
角
4．从甲、乙等 名志愿者中选出 名，分别从事 ， ， ， 四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事 工作，则不同的工作分配方案共有
（A） 种
（B） 种
（C） 种
（D） 种
5．某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视
图是边长为 的正方形，该正三棱柱的表面积是
6．等比数列 中， ，则“ ”是“ ”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
7．已知函数 ，其中 ．若对于任意的 ，都有 ，则 的取值范围是
8．如图，正方体 中， 为底面
上的动点， 于 ，且 ，则点 的
轨迹是
（A）线段（B）圆弧
（C）椭圆的一部分（D）抛物线的一部分
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），则曲线 的直角坐标方程为 ．
10．设等差数列 的公差不为 ，其前 项和是 ．若 ， ，则 ______．
11．如图，正六边形 的边长为 ，则
______．
12．如图，已知 是圆 的直径， 在 的延长线上，
切圆 于点 ， 于 ．若 ， ，
则圆 的半径长为______； ______．
13．在直角坐标系 中，点 与点 关于原点 对称．点 在抛物线 上，且直线 与 的斜率之积等于 ，则 ______．
14．记实数 中的最大数为 ，最小数为 .设△
的三边边长分别为 ，且 ，定义△ 的倾斜度为
．
（?）若△ 为等腰三角形，则 ______；
（?）设 ，则 的取值范围是______．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数 的一个零点是 ．
（Ⅰ）求实数 的值；
（Ⅱ）设 ，求 的单调递增区间．
16．（本小题满分13分）
某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：
现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取 名同学进行学业检测．
（Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有 名女同学的概率；
（Ⅱ）记 为抽取的 名同学中男同学的人数，求随机变量 的分布列和数学期望．
17．（本小题满分14分）
在如图所示的几何体中，面 为正方形，面 为等腰梯形， // ， ，
， ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求 与平面 所成角的正弦值；
（Ⅲ）线段 上是否存在点 ，使平面 平面 ？
证明你的结论．
18．（本小题满分13分）
已知函数 ， ，其中 ．
（Ⅰ）求 的极值；
（Ⅱ）若存在区间 ，使 和 在区间 上具有相同的单调性，求 的取值范围．
19．（本小题满分14分）
如图，椭圆 的左焦点为 ，过点 的直线交椭圆于 ， 两点．当直线 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为 ．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）设线段 的中点为 ， 的中垂线与 轴和 轴分别交于 两点．记△ 的面积为 ，△ （ 为原点）的面积为 ，求 的取值范围．
20．（本小题满分13分）
已知集合 ．
对于 ， ，定义 ；
； 与 之间的距离为 ．
（Ⅰ）当 时，设 ， ．若 ，求 ；
（Ⅱ）（?）证明：若 ，且 ，使 ，则 ；
（?）设 ，且 ．是否一定 ，使 ？
说明理由；
（Ⅲ）记 ．若 ， ，且 ，求 的最大值．
北京市西城区2013年高三一模试卷
高三数学（理科）参考答案及评分标准
2013.4
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1． B； 2．A； 3．D； 4．B； 5．C； 6．B； 7．D； 8．A．
二、题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9． ； 10． ； 11．
12． ， ； 13． ； 14． ， ．
注：12、14题第一问2分，第二问3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：依题意，得 ， ………………1分
即 ， ………………3分
解得 ． ………………5分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 ． ………………6分
………………7分
………………8分
………………9分
． ………………10分
由 ，
得 ， ． ………………12分
所以 的单调递增区间为 ， ． ………………13分
16．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：依题意，甲、乙两组的学生人数之比为 ， ……………1分
所以，从甲组抽取的学生人数为 ；从乙组抽取的学生人数为 ．………2分
设“从甲组抽取的同学中恰有 名女同学”为事件 ， ………………3分
则 ，
故从甲组抽取的同学中恰有 名女同学的概率为 ． ………………5分
（Ⅱ）解：随机变量 的所有取值为 ． ………………6分
， ，
， ．……………10分
所以，随机变量 的分布列为:
17．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为 ， ，
在△ 中，由余弦定理可得 ，
所以 ． ………………2分
又因为 ，
所以 平面 ． ………………4分
（Ⅱ）解：因为 平面 ，所以 ．
因为 ，所以 平面 ． ………………5分
所以 两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系 ． ………………6分在等腰梯形 中，可得 ．
设 ，所以 ．
所以 ， ， ．
设平面 的法向量为 ，则有
所以 取 ，得 ． ………………8分
设 与平面 所成的角为 ，则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 ． ………………9分
（Ⅲ）解：线段 上不存在点 ，使平面 平面 ．证明如下： ………………10分
假设线段 上存在点 ，设 ，所以 ．
设平面 的法向量为 ，则有
所以 取 ，得 ． ………………12分
要使平面 平面 ，只需 ， ………………13分
即 ， 此方程无解．
所以线段 上不存在点 ，使平面 平面 ． ………………14分
18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解： 的定义域为 ， ………………1分
且 ． ………………2分
① 当 时， ，故 在 上单调递减．
从而 没有极大值，也没有极小值． ………………3分
② 当 时，令 ，得 ．
和 的情况如下：
故 的单调减区间为 ；单调增区间为 ．
从而 的极小值为 ；没有极大值． ………………5分
（Ⅱ）解： 的定义域为 ，且 ． ………………6分
③ 当 时，显然 ，从而 在 上单调递增．
由（Ⅰ）得，此时 在 上单调递增，符合题意． ………………8分
④ 当 时， 在 上单调递增， 在 上单调递减，不合题意．……9分
⑤ 当 时，令 ，得 ．
和 的情况如下表：
当 时， ，此时 在 上单调递增，由于 在 上单调递减，不合题意． ………………11分
当 时， ，此时 在 上单调递减，由于 在 上单调递减，符合题意．
综上， 的取值范围是 ． ………………13分
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：依题意，当直线 经过椭圆的顶点 时，其倾斜角为 ． ………………1分
设 ，
则 ． ………………2分
将 代入 ，
解得 ． ………………3分
所以椭圆的离心率为 ． ………………4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），椭圆的方程可设为 ． ………………5分
设 ， ．
依题意，直线 不能与 轴垂直，故设直线 的方程为 ，将其代入
，整理得 ． ………………7分
则 ， ， ．
………………8分
因为 ，
所以 ， ． ………………9分
因为 △ ∽△ ，
所以 ………………11分
． ………………13分
所以 的取值范围是 ． ………………14分
20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：当 时，由 ，
得 ，即 ．
由 ，得 ，或 ． ………………3分
（Ⅱ）（?）证明：设 ， ， ．
因为 ，使 ，
所以 ，使得 ，
即 ，使得 ，其中 ．
所以 与 同为非负数或同为负数． ………………5分
所以
． ………………6分
（?）解：设 ，且 ，此时不一定 ，使得
． ………………7分
反例如下：取 ， ， ，
则 ， ， ，显然 ．
因为 ， ，
所以不存在 ，使得 ． ………………8分
（Ⅲ）解法一：因为 ，
设 中有 项为非负数， 项为负数．不妨设 时 ； 时， ．
所以
因为 ，
所以 ， 整理得 ．
所以 ．……………10分
因为
；
又 ，
所以
．
即 ． ……………12分
对于 ， ，有 ， ，且 ，
．
综上， 的最大值为 ． ……………13分
解法二：首先证明如下引理：设 ，则有 ．
证明：因为 ， ，
所以 ，
即 ．
所以
． ……………11分
上式等号成立的条件为 ，或 ，所以 ． ……………12分
对于 ， ，有 ， ，且 ，
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