2013年高三理科数学二模试题(惠州有答案)

编辑: 逍遥路 关键词: 高三 来源: 高中学习网
一、:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.
1、设函数 的定义域为集合M,集合N= ,则 ( ).
A. B.N C. D.M
2、已知椭圆的长轴长是短轴长的 倍,则椭圆的离心率等于( ).
A. B. C. D.
3、如果执行的程序框图(右图所示),那么输出的 ( ).
A.2450 B.2500 C.2550 D.2652
4、若曲线 的一条切线 与直线
垂直,则切线 的方程为( ).
A、   B、
C、 D、
5、方程 有实根的概率为( ).
A、 B、 C、 D、
6、已知 是平面, 是直线,则下列命题中不正确的是( ).
A、若 ∥ ,则   B、若 ∥ ,则 ∥
C、若 ,则 ∥  D、若 ,则
7、一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“ ”图案,
如图所示,设小矩形的长、宽分别为 、 ,剪去部分的面积为 ,
若 ,记 ,则 的图象是( ).
8、将函数 的图象先向左平移 ,然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变),则所得到的图象对应的函数解析式为( ).
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非,共110分)
二、题:本大题共7小题,其中13~15题是选做题,考生只能选做两题,三题全答的,只计算前两题得分.每小题5分,满分30分.
9、已知向量 , ,若 ,则实数 的值等于 .
10、已知 ,则 = .
11、 是虚数单位,则 .
12、函数 由下表定义:
若 , , ,则 .
13、(坐标系与参数方程选做题)曲线 : 上的点到曲线 : 上的点的最短距离为 .
14、(不等式选讲选做题)已知实数 满足 ,则 的最大值为 .
15、(几何证明选讲选做题)如图,平行四边形 中,
,若 的面积等于1cm ,
则 的面积等于 cm .
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16、(本小题满分12分)设正项等比数列 的前 项和为 , 已知 , .
(Ⅰ)求首项 和公比 的值;
(Ⅱ)若 ,求 的值.
17、(本小题满分12分)设函数 .
(Ⅰ)求函数 的最小正周期和单调递增区间;
(Ⅱ)当 时, 的最大值为2,求 的值,并求出 的对称轴方程.
18、(本小题满分14分)一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球.
(Ⅰ)采取放回抽样方式,从中摸出两个球,求两球恰好颜色不同的概率;
(Ⅱ)采取不放回抽样方式,从中摸出两个球,求摸得白球的个数的期望和方差.
(方差: )
19、(本小题满分14分)如图,已知四棱锥 的
底面 是菱形; 平面 , ,
点 为 的中点.
(Ⅰ)求证: 平面 ;
(Ⅱ)求二面角 的正切值.
20、(本小题满分14分)给定圆P: 及抛物
线S: ,过圆心 作直线 ,此直线与上述两曲线
的四个交点,自上而下顺次记为 ,如果线
段 的长按此顺序构成一个等差数列,求直
线 的方程.
21、(本小题满分14分)设M是由满足下列条件的函数 构成的集合:“①方程 有实数根;②函数 的导数 满足 ”.
(Ⅰ)判断函数 是否是集合M中的元素,并说明理由;
(Ⅱ)集合M中的元素 具有下面的性质:若 的定义域为D,则对于任意[m,n] D,都存在 [m,n],使得等式 成立”,试用这一性质证明:方程 只有一个实数根;
(Ⅲ)设 是方程 的实数根,求证:对于 定义域中任意的 ,当 ,且 时, .
广东省惠州市2013届高三第二次调研考试
数学试题(理科)参考答案2007.11
一、选择题:
题号
1、解析: ,N= ,
即 .答案: .
2、解析:由题意得 ,又 .
答案: .
3、解析:程序的运行结果是 .答案: .
4、解析:与直线 垂直的切线 的斜率必为4,而 ,所以,切点为 .切线为 ,即 ,答案: .
5、解析:由一元二次方程有实根的条件 ,而 ,由几何概率得有实根的概率为 .答案: .
6、解析:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面,所以 正确;如果两个平面与同一条直线垂直,则这两个平面平行,所以 正确;
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线,则这两个平面平行,所以 也正确;
只有 选项错误.答案: .
7、解析:由题意,得 ,答案: .
8、解析: 的图象先向左平移 ,横坐标变为原来的 倍 .答案: .
二、题:
题号
9、解析:若 ,则 ,解得 .
10、解析:由题意 .
11、解析:
12、解析:令 ,则 ,令 ,则 ,
令 ,则 ,令 ,则 ,
令 ,则 ,令 ,则 ,
…,所以 .
13、解析: : ;则圆心坐标为 .
: 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为 ,所以要求的最短距离为 .
14、解析:由柯西不等式 ,答案: .
15、解析:显然 与 为相似三角形,又 ,所以 的面积等于9cm .
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16、解: (Ⅰ) , ……………………… 2分
∴ ,………………………………………………… 4分
解得 .………………………………………………………………… 6分
(Ⅱ)由 ,得: , ……………………… 8分
∴ ………………………………… 10分
∴ .…………………………………………………………… 12分
17、解:(1) … 2分
则 的最小正周期 , …………………………………4分
且当 时 单调递增.
即 为 的单调递增区间(写成开区间不扣分).………6分
(2)当 时 ,当 ,即 时 .
所以 . …………………………9分
为 的对称轴. …………………12分
18、解:
(Ⅰ)解法一:“有放回摸两次,颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”,
记“有放回摸球两次,两球恰好颜色不同”为事件 ,………………………2分
∵“两球恰好颜色不同”共 种可能,…………………………5分
∴ . ……………………………………………………7分
解法二:“有放回摸取”可看作独立重复实验, …………………………2分
∵每次摸出一球得白球的概率为 .………………………………5分
∴“有放回摸两次,颜色不同”的概率为 . ……………………………7分
(Ⅱ)设摸得白球的个数为 ,依题意得:
, , .…………10分
∴ ,……………………………………12分
.……………………14分
19、(Ⅰ)证明: 连结 , 与 交于点 ,连结 .………………………1分
是菱形, ∴ 是 的中点. ………………………………………2分
点 为 的中点, ∴ . …………………………………3分
平面 平面 , ∴ 平面 . ……………… 6分
(Ⅱ)解法一:
平面 , 平面 ,∴ .
,∴ . …………………………… 7分
是菱形, ∴ .

∴ 平面 . …………………………………………………………8分
作 ,垂足为 ,连接 ,则 ,
所以 为二面角 的平面角. ………………………………… 10分
,∴ , .
在Rt△ 中, = ,…………………………… 12分
∴ .…………………………… 13分
∴二面角 的正切值是 . ………………………… 14分
解法二:如图,以点 为坐标原点,线段 的垂直平分线所在直线为 轴, 所在直线为 轴, 所在直线为 轴,建立空间直角坐标系,令 ,……………2分
则 , , .
∴ . ……………4分
设平面 的一个法向量为 ,
由 ,得 ,
令 ,则 ,∴ . …………………7分
平面 , 平面 ,
∴ . ………………………………… 8分
,∴ .
是菱形,∴ .
,∴ 平面 .…………………………… 9分
∴ 是平面 的一个法向量, .………………… 10分
∴ ,
∴ , …………………… 12分
∴ .…………………………………… 13分
∴二面角 的正切值是 . ……………………… 14分
20、解:圆 的方程为 ,则其直径长 ,圆心为 ,设 的方程为 ,即 ,代入抛物线方程得: ,设 ,
有 , ………………………………2分
则 . ……………………4分
故 …6分
, ………… 7分
因此 . ………………………………… 8分
据等差, , …………… 10分
所以 ,即 , ,…………… 12分
即: 方程为 或 . …………………14分
21、解:
(1)因为 , …………………………2分
所以 ,满足条件 . …………………3分
又因为当 时, ,所以方程 有实数根 .
所以函数 是集合M中的元素. …………………………4分
(2)假设方程 存在两个实数根 ),
则 ,……………………………………5分
不妨设 ,根据题意存在数
使得等式 成立, ………………………7分
因为 ,所以 ,与已知 矛盾,
所以方程 只有一个实数根;………………………10分
(3)不妨设 ,因为 所以 为增函数,所以 ,
又因为 ,所以函数 为减函数, ……………………11分
所以 , ………………………………12分


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