1.2.1 平面的基本性质
【课时目标】 1.了解平面的概念及表示法.2.了解公理1、2、3及推论1、2、3,并能用文字语言、图形语言和符号语言分别表述.
1.公理1:如果一条直线上的________在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.用符号表示为:________________.
2.公理2:如果________________________________,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的______________.
用符号表示为:P∈αP∈β?α∩β=l且P∈l.
3.公理3:经过不在同一条直线上的三点,________________________.公理3也可简单地说成,不共线的三点确定一个平面.
(1)推论1 经过________________________________________,有且只有一个平面.
(2)推论2 经过____________,有且只有一个平面.
(3)推论3 经过____________,有且只有一个平面.
一、填空题
1.下列命题:
①书桌面是平面;
②8个平面重叠起来,要比6个平面重叠起来厚;
③有一个平面的长是50 m,宽是20 m;
④平面是绝对的平、无厚度,可以无限延展的抽象数学概念.
其中正确命题的个数为________.
2.若点M在直线b上,b在平面β内,则M、b、β之间的关系用符号可记作____________.
3.已知平面α与平面β、γ都相交,则这三个平面可能的交线有________条.
4.已知α、β为平面,A、B、M、N为点,a为直线,下列推理错误的是__________(填序号).
①A∈a,A∈β,B∈a,B∈β?a?β;
②M∈α,M∈β,N∈α,N∈β?α∩β=MN;
③A∈α,A∈β?α∩β=A;
④A、B、M∈α,A、B、M∈β,且A、B、M不共线?α、β重合.
5.空间中可以确定一个平面的条件是________.(填序号)
①两条直线; ②一点和一直线;
③一个三角形; ④三个点.
6.空间有四个点,如果其中任意三个点不共线,则经过其中三个点的平面有__________个.
7.把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上.
(1)AD/∈α,a?α________.
(2)α∩β=a,PD/∈α且PD/∈β________.
(3)a?α,a∩α=A________.
(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O________.
8.已知α∩β=m,a?α,b?β,a∩b=A,则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________.
9.下列四个命题:
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点;
②经过空间任意三点有且只有一个平面;
③过两平行直线有且只有一个平面;
④在空间两两相交的三条直线必共面.
其中正确命题的序号是________.
二、解答题
10.如图,直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线,并说明理由.
11.如图所示,四边形ABCD中,已知AB∥CD,AB,BC,DC,AD(或延长线)分别与平面α相交于E,F,G,H,求证:E,F,G,H必在同一直线上.
能力提升
12.空间中三个平面两两相交于三条直线,这三条直线两两不平行,证明三条直线必相交于一点.
13.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC、BD交于点M,E为AB的中点,F为AA1的中点.
求证:(1)C1、O、M三点共线;
(2)E、C、D1、F四点共面;
(3)CE、D1F、DA三线共点.
1.证明几点共线的方法:先考虑两个平面的交线,再证有关的点都是这两个平面的公共点,或先由某两点作一直线,再证明其他点也在这条直线上.
2.证明点线共面的方法:先由有关元素确定一个基本平面,再证其他的点(或线)在这个平面内;或先由部分点线确定平面,再由其他点线确定平面,然后证明这些平面重合.注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用.
3.证明几线共点的方法:先证两线共点,再证这个点在其他直线上,而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线.
§1.2 点、线、面之间的位置关系
1.2.1 平面的基本性质
答案
知识梳理
1.两点 A∈αB∈α?AB?α
2.两个平面有一个公共点 一条直线
3.有且只有一个平面 (1)一条直线和这条直线外的一点 (2)两条相交直线 (3)两条平行直线
作业设计
1.1
解析 由平面的概念,它是平滑、无厚度、可无限延展的,可以判断命题④正确,其余的命题都不符合平面的概念,所以命题①、②、③都不正确.
2.M∈b?β 3.1,2或3
4.③
解析 ∵A∈α,A∈β,∴A∈α∩β.
由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A.
故α∩β=A的写法错误.
5.③
6.1或4
解析 四点共面时有1个平面,四点不共面时有4个平面.
7.(1)C (2)D (3)A (4)B
8.A∈m
解析 因为α∩β=m,A∈a?α,所以A∈α,
同理A∈β,故A在α与β的交线m上.
9.③
10.解 很明显,点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点,即点S在交线上,由于AB>CD,则分别延长AC和BD交于点E,如图所示.
∵E∈AC,AC?平面SAC,
∴E∈平面SAC.
同理,可证E∈平面SBD.
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上,连结SE,
直线SE是平面SBD和平面SAC的交线.
11.证明 因为AB∥CD,所以AB,CD确定平面AC,AD∩α=H,因为H∈平面AC,H∈α,由公理3可知,H必在平面AC与平面α的交线上.同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上,因此E,F,G,H必在同一直线上.
12.证明
∵l1?β,l2?β,l1 l2,
∴l1∩l2交于一点,记交点为P.
∵P∈l1?β,P∈l2?γ,
∴P∈β∩γ=l3,
∴l1,l2,l3交于一点.
13.证明 (1)∵C1、O、M∈平面BDC1,
又C1、O、M∈平面A1ACC1,由公理3知,点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上,
∴C1、O、M三点共线.
(2)∵E,F分别是AB,A1A的中点,
∴EF∥A1B.
∵A1B∥CD1,∴EF∥CD1.
∴E、C、D1、F四点共面.
(3)由(2)可知:四点E、C、D1、F共面.
又∵EF=12A1B.
∴D1F,CE为相交直线,记交点为P.
则P∈D1F?平面ADD1A1,
P∈CE?平面ADCB.
∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB=AD.
∴CE、D1F、DA三线共点.
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