专题三 数列与不等式
【重点知识回顾】
1． 数列在高考中，一般设计一个客观题和一个解答题，主要考查数列和不等式部分的基本知识，对基本运算能力要求较高，解答题常常综合考查函数、方程、不等式等知识．难度较大，尤其是数列、函数和不等式的综合考题，又加入了逻辑推理能力的考查，成为了近几年数列考题的新热点．
2． 数列与不等式部分的重点为：等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前 项和；不等式的性质、解法和两个重要不等式的应用；该部分重点考查运算能力和逻辑推理能力，考查函数与方程思想、化归于转化思想及分类讨论思想．
【典型例题】
1．等差数列与等比数列的综合
等差数列与等比数列都是高考命题的重点知识，考题经常将它们综合在一起综合考查等差数列和等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高．
例1．设 是公差不为0的等差数列， 且 成等比数列，则 的前 项和 =（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：设数列 的公差为 ，则根据题意得 ，解得 或 （舍去），所以数列 的前 项和 ．
例2．等比数列 的前n项和为 ，且4 ，2 ， 成等差数列．若 =1，则 =（ ）
（A）7 （B）8 （3）15 （4）16
解析： 4 ，2 ， 成等差数列， ，即 ，
， ，因此选C．
点评：该类题目综合考查了等差数列和等比数列的概念、通项公式和等比数列的求和公式等，基础性较强，综合程度较小，要求具有较熟练的运算能力．
2．函数与不等式综合
不等式与函数有着密切的联系，其中线性规划求目标函数的最值是近几年高考的热点问题之一，经常以选择题或填空题出现．有不少关于最值方面的问题，通常用二次函数的配方法求最值或用均值不等式求最值，考题经常以与不等式有关的实际应用问题出现．在应用不等式解决实际问题时，要注意以下四点：
①理解题意，设变量．设变量时一般把要求最值的变量定为自变量；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；
③在定义域内，求出函数的最值；
④正确写出答案．
例３．设x，y满足约束条件 ，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D． 4
答案：A
解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a>0，b>0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时，目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6, 而 = ，故选A．
点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值，对于形如已知2a+3b=6，求 的
最小值常用乘积进而用基本不等式解答．
例4．本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为 元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0．3万元和0．2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是 万元．
答案：70
解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 分钟和 分钟，总收益为 元，由题意得
目标函数为 ．
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．
如图：作直线 ，即 ．
平移直线，从图中可知，当直线过 点时，目标函数取得最大值．
联立 解得 ． 点 的坐标为 ．
（元）．
点评：本题是线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题．用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力，随着课改的深入，这类试题应该是高考的热点题型之一．
例5．设 为实数，函数 ．
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)求 的最小值；
(3)设函数 ，直接写出(不需给出演算步骤)不等式 的解集．
解析：（1）若 ，则 ；
（2）当 时， ，
当 时， ，
综上 ；
（3） 时， 得 ，
当 时， ；
当 时，△>0，得： ；
讨论得：当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ．
点评：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．
3．函数与数列的综合
高考试题中经常将函数与数列综合在一起，设计综合性较强的解答题，考查数列的概念、性质、通项及求和公式等主干知识和分析问题、解决问题的逻辑推理能力．
例6．知函数 ．
（Ⅰ）设 是正数组成的数列，前n项和为 ，其中 ．若点 (n∈N*)在函数 的图象上，求证：点 也在 的图象上；
（Ⅱ）求函数 在区间 内的极值．
解析：(Ⅰ)证明： 因为 所以 ，
由点 在函数 的图象上,
， 又 ，
所以 ， 是 的等差数列，
所以 ,又因为 ,所以 ,
故点 也在函数 的图象上．
(Ⅱ)解: ,令 得 ．
当x变化时, ? 的变化情况如下表:
x(-∞,-2)-2(-2,0)
f(x)+0-
f(x)?极大值 ?
注意到 ,从而
①当 ,此时 无极小值；
②当 的极小值为 ,此时 无极大值；
③当 既无极大值又无极小值．
点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力．
4．数列与不等式、简易逻辑等的综合
数列是培养推理论证能力的极好载体，将数列的知识与推理证明的方法交织在一起进行考查，是新课程高考中的一个亮点，常常荣归纳、猜想、数学归纳法、分类讨论、等价转化等数学思想和方法于一体，对能力的要求较高．
例7．设 若 是 与 的等比中项，则 的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．1 D．
答案：B
解析：因为 ，所以 ，
，当且仅当 即 时“=”成立，故选择B．
点评：本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．
例8．设数列 满足 为实数．
（Ⅰ）证明： 对任意 成立的充分必要条件是 ；
（Ⅱ）设 ，证明： ；
（Ⅲ）设 ，证明： ．
解析： (1) 必要性： ，又 ，即 ．
充分性 ：设 ，对 用数学归纳法证明 ，
当 时， ．假设 ，
则 ，且 ，
，由数学归纳法知 对所有 成立．
(2) 设 ，当 时， ，结论成立．
当 时， ，
,由（1）知 ，所以 且 ，
，
，
．
(3) 设 ，当 时， ，结论成立，
当 时，由（2）知 ，
，
．
点评：该题综合考查了等比数列的求和、不等式的性质的应用、充分必要条件和数学归纳法等，具有较高的难度，对逻辑推理能力的考查要求较高．
５．数列与概率的综合
数列与概率的综合考查，虽然不是经常但很有新意，这种命题也体现了在知识交汇处命题的指导思想．
例9．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解析：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有 个，其中为等差数列有三类：
（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，成等差数列的概率为 ，选B．
点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复．
【模拟演练】
1．公差不为零的等差数列 的前 项和为 ．若 是 的等比中项, ,则 等于( )
A． 18 B． 24 C． 60 D． 90
2． 等差数列{an}和{bn}的前n项和分别用Sn和Tn表示，若 ，则 的值为( )
A B C D
3．已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
4． 已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则(a＋b)2cd的最小值是________．
5．设数列 的前 项和为 ，点 均在函数 的图象上．
则数列 的通项公式为 ．
6．命题 实数 满足 ，其中 ，命题 实数 满足 或 ，且 是 的必要不充分条件，求 的取值范围．
7．已知二次函数 的二次项系数为 a ，且不等式 的解集为（1 , 3）．
（l）若方程 有两个相等的根，求 的解析式；
（2）若 的最大值为正数，求 a 的取值范围．
8．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)．
（Ⅰ）将y表示为x的函数：
（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
【参考答案】
1．答案：C
解析：由 得 得 ,再由 得: 则 ,所以 ,故选C．
2．答案：A
解析： ∵ ； ．
∴ ．
3． 答案：C
解析：依题意得 或
所以 或
解得： ，故选C．
4．答案：4
解析：∵(a＋b)2cd＝(x＋y)2xy≥(2xy)2xy＝4．
5．答案：
解析：由题意得， 即 ．
当n≥2时， ;
当n=1时， × -2×1-1-6×1-5．
所以 ．
6．解析：设 ，
=
因为 是 的必要不充分条件，所以 ，且 推不出
而 ，
所以 ，则 或
即 或 ．
7．解析：（1）因为 的解集为（1，3），所以 且 ．
因而 （1）
由方程 得： （2）
因为方程（2）有两个相等的根．
所以 ，即 ．
解得： （舍去）或 ，
将 代入（1）得 的解析式为： ，
（2） ，
有a < 0，可得 的最大值为 ，
所以 > 0，且a < 0．
解得： ，
故当 的最大值为正数时，实数a的取值范围是 ．
8．解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m，则 -45x-180(x-2)+180?2a=225x+360a-360，
由已知xa=360,得a= ，所以y=225x+ ．
(II)
．当且仅当225x= 时，等号成立．
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
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