目标:了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法,会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数 的简图,理解 的物理意义,掌握由函数 的图象到函数 的图象的变换原理.
重点:函数 的图象到函数 的图象的变换方法.
教学过程:
一、主要知识:
1.三角函数线;注:
2.
3.
①用五点法作图
0
0A0-A0
②图象变换:平移、伸缩两个程序
③A---振幅 ----周期 ----频率
4.图象的对称性
① 的图象既是中心对称图形又是轴对称图形。
② 的图象是中心对称图形,有无穷多条垂直于x轴的渐近线。
二、主要方法:
1.“五点法”画正弦、余弦函数和函数 的简图,五个特殊点通常都是取三个平衡点,一个最高、一个最低点;
2.给出图象求 的解析式的难点在于 的确定,本质为待定系数法,基本方法是:①寻找特殊点(平衡点、最值点)代入解析式;②图象变换法,即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的,通常可由平衡点或最值点确定周期 ,进而确定 .
三、例题分析:
1.三角函数线的应用
例1:解三角不等式组
思路分析:利用三角函数线和单调性求解。
解:如图:
2.三角函数图象的变换
例2.已知函数
(1)当函数y取得最大值时,求自变量x的集合
(2)该函数的图象可由 的图象经怎样的平移和伸缩变换得到?
思路分析:利用三角变换,将 化为 求解。
解:①
②1)将函数 的图象向左平移 得函数 的图象;
2)将所得图象上各点横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),得函数 的图象,
3)将所得图象上各点纵坐标缩短到原来的 倍(横坐标不变),得函数 的图象,
4)将所得图象向上平移 个单位长度,到得函数 的图象,
3.由图象写解析式或由解析式作图
例3如图为某三角函数图象的一段
(1)用函数 写出其中一个解析式;
(2)求与这个函数关于直线 对称的函数解析式,并作出它一个周期内简图。
思路分析:由 ,由最值定A,由特殊值定 ,用五点法作简图。
解:(1)
由图它过 (为其中一个值)
(2) 上任意一点,该点关于直线 对称点为
关于直线 对称的函数解析式是
列表:
0
0-3030
作图:
4.三角函数的综合应用
例4已知函数f(x)= 为偶函数,且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为
(Ⅰ)求f( )的值;
(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象向右平移 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.
解:(Ⅰ)f(x)=
=
=2sin( - )
因为 f(x)为偶函数,
所以 对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立,
因此 sin(- - )=sin( - ).
即-sin cos( - )+cos sin( - )=sin cos( - )+cos sin( - ),
整理得 sin cos( - )=0.因为 >0,且x∈R,所以 cos( - )=0.
又因为 0< <π,故 - = .所以 f(x)=2sin( + )=2cos .
由题意得
故 f(x)=2cos2x. 因为
(Ⅱ)将f(x)的图象向右平移个 个单位后,得到 的图象,再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到 的图象.
当 2kπ≤ ≤2 kπ+ π (k∈Z),
即 4kπ+≤ ≤x≤4kπ+ (k∈Z)时,g(x)单调递减.
因此g(x)的单调递减区间为 (k∈Z)
(备选例5)、已知函数
(Ⅰ)求函数 的最小正周期和图象的对称轴方程
(Ⅱ)求函数 在区间 上的值域
解:(1)
由
函数图象的对称轴方程为
(2)
因为 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,
所以 当 时, 取最大值 1
又 ,当 时, 取最小值
所以 函数 在区间 上的值域为
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