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2013年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷()和第Ⅱ卷(非)两部分。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分。考试时间120分钟。
注意事项:
1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。
4. 考试结束,将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题共12小题。每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。
(1)已知集合A={1,2,3,4},B={xx=n2,n∈A},则A∩B=( )
(A){0}(B){-1,,0}(C){0,1}(D){-1,,0,1}
(2) 1+2i(1-i)2= ()
(A)-1-12i(B)-1+12i(C)1+12i(D)1-12i
(3)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()
(A)12(B)13 (C)14 (D)16
(4)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为52,则C的渐近线方程为()
(A)y=±14x (B)y=±13x(C)y=±12x (D)y=±x
(5)已知命题p:?x∈R,2x><3x;命题q:?x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是:()
(A) p∧q (B)?p∧q (C)p∧?q (D)?p∧?q
(6)设首项为1,公比为23的等比数列{an}的前n项和为Sn,则()
(A)Sn=2an-1 (B)Sn =3an-2(C)Sn=4-3an (D)Sn =3-2an
(7)执行右面的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的s属于 ()
(A)[-3,4]
(B)[-5,2]
(C)[-4,3]
(D)[-2,5]
(8)O为坐标原点,F为抛物线C:y²=42x的焦点,P为C上一点,若PF=42,则△POF的面积为()
(A)2(B)22(C)23(D)4
(9)函数f(x)=(1-cosx)sinx在[-π,π]的图像大致为( )
A B C D
(10)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos²A+cos2A=0,a=7,c=6,则b=( )
(A)10(B)9(C)8(D)5
(11)某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为
(A)18+8π (B)8+8π
(C)16+16π (D)8+16π
(12)已知函数f(x)=-x2+2x x≤0ln(x+1) x>0,若 f(x)≥ax,则a的取值范围是()
(A)(-∞,0] (B)(-∞,1] (C)[-2,1] (D)[-2,0]
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。
二.题:本大题共四小题,每小题5分。
(13)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b?c=0,则t=_____.
(14)设x,y满足约束条件1≤x≤3-1≤x-y≤0,则z=2x-y的最大值为______.
(15)已知H是球O的直径AB上一点,AH:HB=1:2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为_______.
(16)设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=______.
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{1a2n-1a2n+1}的前n项和
18(本小题满分共12分)
为了比较两种治疗失眠症的药(分别成为A药,B药)的疗效,随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药,这40位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h)实验的观测结果如下:
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(Ⅰ)分别计算两种药的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好?
(Ⅱ)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?
19.(本小题满分12分)
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.
(Ⅰ)证明AB⊥A1C;
(Ⅱ)若AB=CB=2, A1C=6,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积
(20)(本小题满分共12分)
已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程为y=4x+4
(Ⅰ)求a,b的值
(Ⅱ)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值
(21)(本小题满分12分)
已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线 C.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求AB.
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。
(22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于D。
(Ⅰ)证明:DB=DC;
(Ⅱ)设圆的半径为1,BC=3,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径。
(23)(本小题10分)选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为x=4+5costy=5+5sint(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ。
(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)
(24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数f(x)=2x-1+2x+a,g(x)=x+3.
(Ⅰ)当a=2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(Ⅱ)设a>-1,且当x∈[-a2,12)时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
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