理科数学
本试卷分为第I卷()和第II卷(非)两部分,共24题,满分150分,考试时间120分钟。
注意事项
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚;
2.选择题必须使用2B铅笔填涂,非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整,字迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不得折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I卷(选择题,共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 集合 , ,则
A.
B.
C.
D.
2.设Sn是公差为 的无穷等差数列 的前n项和,则“d < 0”是“数列 有最大项”的
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
3.ΔABC中, , ,若 ,则角C为
A.
B.
C.
D.
4.已知 ,则 展开式中的常数项为
A.20B.-20C.-15D.15
5.正三棱柱ABC―A1B1C1的所有棱长都为2,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为
A.
B.
C.
D.
6.已知函数 ,其图象相邻的两条对称轴方程为 与 ,则
A. 的最小正周期为 ,且在 上为单调递增函数
B. 的最小正周期为 ,且在 上为单调递减函数
C. 的最小正周期为 ,且在 上为单调递增函数
D. 的最小正周期为 ,且在 上为单调递减函数
7.一个几何体的三视图及尺寸如右图所示,则该几何体的
外接球半径为
A.
B.
C.
D.
8.过抛物线 的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A,直线l与抛物线的准线的交点为B,点A在抛物线的准线上的摄影为C,若 , ,则抛物线的方程为
A.
B.
C.
D.
9.右面的程序框图,输出结果s的值为
A.
B.
C.
D.
10.在平行四边形ABCD中, , ,
连接CE、DF相交于点M,若 ,则实数
λ与μ的乘积为
A.
B.
C.
D.
11.已知函数 的两个极值点分别为x1,x2,且 , ,记分别以m,n为横、纵坐标的点 表示的平面区域为D,若函数 的图象上存在区域D内的点,则实数a的取值范围为
A.
B.
C.
D.
12.设点P在曲线 上,点Q在曲线 上,则 的最小值为
A.
B.
C.
D.
第II卷(非选择题,共90分)
二、题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。将答案填在答题卡的相应位置上。)
13.若复数 ,则 __________。
14.已知双曲线 的右焦点为F,由F向其渐近线引垂线,垂足为
P,若线段PF的中点在此双曲线上,则此双曲线的离线率为__________。
15.已知平面区域Ω= ,直线l: 和曲线C: 有两个不同的交点,直线l与曲线C围城的平面区域为M,向区域Ω内随机投一点A,点A落在区域M内的概率为 ,若 ,则实数m的取值范围是__________。
16.已知ΔABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若a = 1,2cosC + c = 2b,则ΔABC的周长的取值范围是__________。
三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知正项数列满足 。
(1)求数列 的通项公式;
(2)设 ,求数列 的前n项和Tn。
18.(本小题满分12分)
从某学校高三年级共1000名男生中随机抽取50人测量身高。据测量,被测学生身高全部介于155cm到195cm之间,将测量结果按如下方式分成八组,第一组[155,160),第二组[160,165),… ,第八组[190,195]。下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分、其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列。
(1)求第六组、第七组的频率,并估算高三年级全体男生身高在180cm以上(含180cm)的人数;
(2)学校决定让这50人在运动会上组成一个高旗队,在这50人中要选身高在180cm以上(含180cm)的三人作为队长,记X为身高在[180,185)的人数,求X的分布列和数学期望。
19.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P―ABCD中,PA⊥AD,AB∥CD,CD⊥AD,AD = CD = 2AB = 2,E,F分别为PC,CD的中点,DE = EC。
(1)求证:平面ABE⊥平面BEF;
(2)设PA = a,若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角 ,求a的取值范围。
20.(本小题满分12分)
已知椭圆 过点 ,离心率 ,若点 在椭圆C上,则点 称为点M的一个“椭点”,直线l交椭圆C于A、B两点,若点A、B的“椭点”分别是P、Q,且以PQ为直径的圆经过坐标原点O。
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C的右顶点为D,上顶点为E,试探究ΔOAB的面积与ΔODE的面积的大小关系,并证明。
21.(本小题满分12分)
已知函数 。
(1)若函数满足 ,且在定义域内 恒成立,求实数b的取值范围;
(2)若函数 在定义域上是单调函数,求实数a的取值范围;
(3)当 时,试比较 与 的大小。
选考题:请考生从第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。
22.(本小题满分10分)
选修4-1:几何证明选讲
如图所示,已知PA与⊙O相切,A为切点,过点P的割线交圆于B、C两点,弦CD∥AP,AD、BC相交于点E,F为CE上一点,且DE2 = EF?EC。
(1)求证:CE?EB = EF?EP;
(2)若CE:BE = 3:2,DE = 3,EF = 2,求PA的长。
23.(本小题满分10分)
选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,已知直线l的极坐标方程为 ,圆C的圆心是 ,半径为 。
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)求直线l被圆C所截得的弦长。
24.(本小题满分10分)
选修4-5:不等式选讲
设函数 。
(1)解不等式 ;
(2)已知关于x的不等式 恒成立,求实数a的取值范围。
2013年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试
数学试卷(理工类)答案及评分标准
一、选择题:
题号123456789101112
答案BABBBCCDCBBD
二、题:
13. 14. 15. 16.
三、解答题:
17. (Ⅰ)整理得 ……………………………… 4分
又 得 ……………………………… 6分
(Ⅱ)由(1)知 …………………………… 8分
所以 …………………………………… 12分
18. 解: (Ⅰ) 第六组 ???????????????????????????2分
第七组 ???????????????????????????4分
估计人数为 ??????????????????????????6分
(Ⅱ) 可能的取值为0,1, 2, 3. ????????????????????????7分
所以 的分布列
0123
?????????????10分
= . ????????????????????? 12分
19.(Ⅰ) , 分别为 的中点,
为矩形, ????????????????? 2分
,又
面 , 面 ,
平面 ⊥平面 ????????????????????? 4分
(Ⅱ) ,又 ,
又 ,所以 面 , ??????????????????6分
法一:建系 为 轴, 为 轴, 为 轴,
, ,
平面 法向量 ,平面 法向量 ??????????9分
,可得 . ?????????????12分
法二:连 交 于点 ,四边形 为平行四边形,所以 为 的中点,连 ,
则 , 面 , ,
作 于 点,所以 面 ,
连 ,则 , 即为所求 ????????????? 9分
在 中, ,
解得 ?????????????12 分
20.(Ⅰ)由已知 解得 , ,方程为 ???????3 分
(Ⅱ) 设 ,则
(1)当直线 的斜率存在时,设方程为
联立得:
有 ①
由以 为直径的圆经过坐标原点O可得: ?
整理得: ②
将①式代入②式得: , ??????????? 6 分
又点 到直线 的距离
?????????? 8 分
所以 ?????????? 10 分
(2) 当直线 的斜率不存在时,设方程为 ( )
联立椭圆方程得:
代入 得到 即 ,
综上: 的面积是定值
又 的面积 ,所以二者相等. ???????12分
21.(Ⅰ) 由原式 , ???????????????? 1分
令 ,可得 在 上递减,
在 上递增,所以
即 ???????????????3分
(Ⅱ)
, ,
时,函数 在 单调递增 ???????????????5分
,
,
,
, 必有极值,在定义域上不单调??????????????8分
????????????????9分
(Ⅲ)由(I)知 在(0,1)上单调递减
∴ 时, 即 ???????????????? 10分
而 时,
??????????????? 12分
22.(I)∵ ,∴ ,
又∵ ,∴ ,∴ ∽
∴ 又∵ ,∴ ???5分
(II) , ,
是⊙ 的切线, , ???????10分
23.(Ⅰ)圆 的极坐标方程为: ?????????5 分
(Ⅱ)圆心到直线距离为 ,圆半径为 ,所以弦长为 ??????????? 10分
24.(Ⅰ) 的解集为: ?????????? 5分
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