一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分）
1.已知 ，则数列 的最大项是（ ）
A. B. C. D.
2.在数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3.公差不为零的等差数列 中， ，
数列 是等比数列，且 （ ）
（A）2 （B）4（C）8（D）16
4. （2010?广州高三六校联考 ）等差数列 中，若 为方程 的两根，则 等于（ ）
A．10 B．15 C．20 D．40
5.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）近似地满足关系式Sn= （21n－n2－5）（n=1，2，…，12），按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 （ ）
A.5、6月B.6、7月C.7、8月D.8、9月
6.将正偶数集合 从小到大按第 组有 个偶数进行分组，
, ,
第一组 第二组 第三组
则 位于第（ ）组。
7.已知等差数列 的公差为正数，且 ， ，则 为（ ）
8. 执行如图的程序框图，
若 ，
则输出的 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
9.设函数 的导函数 ，则数列 的前n项和是（ ）
（A） （B） （C） （D）
10. 已知 是首项为1的等比数列， 是 的前n项和，且 ，则数列 的前5项和为 ( )
（A） 或5 （B） 或5 （C） （D）
11. 在等比数列 等于（ ）
A． B． C． D．
12.等差数列{an}中，a1=-5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是 （ ）
A．a11 B．a10 C．a9 D．a8
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，总分16分）
13.整数数列 满足 ，则数列 的通项 __．
14. （2010?苏、锡、常、镇四市高三调研）已知 是等差数列，设
．某学生设计了一个求 的部分算法流程图（如图），图中空白处理框中是用n的表达式对 赋值，则空白处理框中应填入： ← ．
15.已知等比数列{an}中，a1=3，a4=81，若数列{bn}满足bn=log3 an，
则数列 的前n项和Sn= 。
16.顺次连结面积为1的正三角形的三边中点构成一个黑色三角形，在余下的白色三角形上重复上面的操作。第（1）个图中黑色三角形面积总和为 ，第（2）个图中黑色三角形面积总和为 ，第（3）个图中黑色三角形面积总和为 ，依此类推，则第 个图中黑色三角形面积总和为 .
三、解答题（本大题共6小题，总分74分）
17.已知数列{an}是首项a1=1的等比数列，且an>0，{bn}是首项为l的等差数列，又a5+b3=21，a3+b5=13．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式
（2）求数列 的前n项和Sn．
18. 已知等差数列 满足
（1）求数列 的通项公式；
（2）设各项均为正数的等比数列 的前n项和为
19.已知函数 的图象经过点 及 ， 为数列 的前 项和.
（Ⅰ）求 及 ；
（Ⅱ）若数列 满足 求数列 的前项和 .
20. 设数列 中的每一项都不为0．
证明： 为等差数列的充分必要条件是：对任何 ，都有
．
21. 对于数列 ,若存 在常数M＞0,对任意的 ，
恒有 ,则称数列 为 数列.
（Ⅰ）首项为1，公比为 的等比数列是否为B-数列？请说明理由;
（Ⅱ）设 是数列 的前n项和.给出下列两组判断：
A组：①数列 是B-数列, ②数列 不是B-数列;
B组：③数列 是B-数列, ④数列 不是B-数列.
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.
判断所给命题的真假，并证明你的结论；
(Ⅲ)若数列 是B-数列，证明：数列 也是B-数列。
22. 已知 为正整数，
（I）用数学归纳法证明：当 时， ；
（ II）对于 ，已知 ，
求证 ， ；
（III）求出满足等式 的所有正整数 ．
参考答案
一、选择题
1. 答案：C.提示: 是关于 的二次函数.
2. 【解析】选A.
3. 【解 析】选D.
4. 【解析】选B.
5. 【解析】选C.由Sn解出an= （－n2+15n－9），再解不等式 （－n2+15n－9）＞1.5，得6＜n＜9.
6. 【解析】选C.因为第n组有2n个正偶数，故前n组共有2+4+6+…+2n= 个正偶数。2010是第1005个正偶数，若n=31，则 =992，而第32组中有偶数64个，992+64=1056，故2010在第32组。
7. 【解析】选A.因为 ， 及公差为正数，所以
，
所以
8. 【解析】选D.由题意知当n=9时，n=9<9不成立，输出S，此时
9. 【解析】选A
10. 【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n项和公式．
【思路点拨】求出数列 的通项公式是关键．
【规范解答】选C．设 ，则 ，
即 ， ， ．
11. C
12. A
二、填空题
13. 【解析】
答案：
14. 【解析】当n≤5时， =－n2＋9n，所以 ，
因为 是等差数列，所以 ，
答案：
15. 【解析】因为a1=3，a4=81，所以
所以
答案：
16. 答案：
三、解答题
17. 【解析】（1）设 的公比为 ， 的公差为 ，则由已知条件得：
解之得： ， 或 （舍去）4分
∴ ， 6分
（2）由（1）知
∴ ①7分
∴ ②
①—②得： 9分
即
∴ 12分
18. 【解析】（I）设等差数列 的公差为d。
…………2分
解得 …………4分
…………6分
（II）设各项均为正数的等比数列 的公比为
由（I）知
…………8分
…………10分
解得 （舍去）…………11分
…………13分
19. 【解析】（1）∵函数 的图象经过点 ，则
，解得 ，∴ ，得
则 …………8分
（2） ，
=
令 …①
…②
①-②:
…………14分
20. 【命题立意】本题主要考查等差数列与充要条件等知识，考查考生推理论证，运算求解能力．
【思路点拨】证明可分为两步，先证明必 要性，适宜采用列项相消法，再证明充分性，可采用数学归纳法或综合法．
【规范解答】已知数列 中的每一项都不为0，
先证
若数列 为等差数列，设公差为 ，
当 时，有 ，
即对任何 ，有 成立；
当 时，显然 也成立．
再证
对任意 ，有 ①，
②，
由②-①得： -
上式 两端同乘 ，得 ③，
同理可得 ④，
由③-④得： ，所以 为等差数列
【方法技巧】
1、在进行数列求和问题时，要善于观察关系式特点，进行适当的变形，如分组、裂项等 ，转化为常见的类型进行求和；
2、对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n换为 或 得到相关的式子，再进行化简变形处理；也可以把n取自然数中的具体的数1，2，3…等，得到一些等式归纳证明.
21. 【解析】（Ⅰ）设满足题设的等比数列为 ,则 .于是
= =
所以首项为1，公比为 的等比数列是B-数列 .
（Ⅱ）命题1：若数列 是B-数列，则数列 是B-数列.此命题为假命题.
事实上设 =1， ，易知数列 是B-数列，但 =n，
.
由n的任意性知，数列 不是B-数列。
命题2：若数列 是B-数列，则数列 是B-数列。此命题为真命题。
事实上，因为数列 是B-数列，所以存在正数M，对任意的 ，有
,
即 .于是
,
所以数列 是B-数列。
（注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法）
(Ⅲ)若数列 是B-数列，则存在正数M，对任意的 有
.
因为
.
记 ，则有
.
因此 .
故数列 是B-数列.
22. 【解析】方法一：用数学归纳法证明：
（?）当 时，原不等式成立；当 时，左边 ，右边 ，
因为 ，所以左边 右边，原不等式成立；
（?）假设当 时，不等式成立，即 ，则当 时，
， ，于是在不等式 两边同乘以 得
，
所以 ．即当 时，不等式也成立．
综合（?）（?）知，对一切正整数 ，不等式都成立．
（Ⅱ）当 时，由（Ⅰ）得 ，
于是 ， ．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当 时，
，
．
即 ．即当 时，不存在满足该等式的正整数 ．
故只需要讨论 的情形：
当 时， ，等式不成立；
当 时， ，等式成立；
当 时， ，等式成立；
当 时， 为偶数，而 为奇数，故 ，等式不成立；
当 时，同 的情形可分析出，等式不成立．
综上，所求的 只有 ．
方法二：（Ⅰ）当 或 时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：
当 ，且 时， ， ． ①
（?）当 时，左边 ，右边 ，因为 ，所以 ，即左边 右边，不等式①成立；
（?）假设当 时，不等式①成立，即 ，则当 时，
因为 ，所以 ．又因为 ，所以 ．
于是在不等式 两边同乘以 得
，
所以 ．即当 时，不等式①也成立．
综上所述，所证不等式成立．
（Ⅱ）当 ， 时， ， ，
而由（Ⅰ）， ， ．
（Ⅲ）假设存在正整数 使等式 成立，
即有 ． ②
又由（Ⅱ）可得
，与②式矛盾．
故当 时，不存在满足该等式的正整数 ．
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