【备考策略】
根据近几年高考命题特点和规律,复习本专题时要注意以下几方面:
1.掌握三角函数的概念、图象与性质;熟练掌握同角公式、诱导公式、和角与差角、二倍角公式,且会推导掌握它们之间的内在联系。掌握正弦、余弦定理,平面向量及有关的概念,向量的数量积以及坐标形式的运算。
2.熟练掌握解决以下问题的思想方法
本专题试题以选择题、填空题、解答题的形式出现,因此复习中要重视选择、填空题的一些特殊方法,如数形结合法、函数法、代入检验法、特殊值法、待定系数法、排除法等。另外对有些具体问题还要掌握和运用一些基本结论(如对正弦、余弦函数的图象的对称轴经过最高点或最低点,对称中心为三角函数值为零的点,应熟练的写出对称轴的方程及对称中心的坐标;应用三角函数线解三角方程、比较三角函数值的大小;对三角函数的角的限制及讨论;常数1的代换等)。
3.特别关注
(1)与三角函数的图象与性质有关的选择、填空题;
(2)向量、解三角形以及三角函数的图象与性质等知识交汇点命题;
(3)与测量 、距离、角度有关的解三角形问题。
第一讲 三角函数的图象与性质
【最新考纲透析】
1.了解任意角、弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化。
2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。
3.能利用单位圆中的三角函数线推导出 的正弦、余弦、正切的诱导公式,能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象,了解三角函数的周期性。
4.理解正弦函数、余弦函数在区间[0, ]的性质(如单调性、最大值和最小值以及图象与x轴的交点等),理解正切函数在区间 的单调性。
5.理解同角三角函数的基本关系式:
sin2x+cos2x=1,sinx/cosx=tanx.
6.了解函数y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响。
7.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题。
【核心要点突破】
要点考向1:三角函数的概念、同角诱导公式的简单应用
考情聚焦:1.三角函数的定义、同角三角函数的关系及诱导公式的简单应用,在近几年高考中时常出现。
2.该类问题出题背景选择面广,易形成知识交汇题。
3.多以选择题、填空题的形式出现,属于中、低档题。
考向链接:1.三角函数的定义是求三角函数值的基本依据,如果已知角终边上的点,则利用三角函数的定义,可求该角的正弦、余弦、正切值。
2.同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用,应注意正确选择公式、注意公式应用的条件。
例1:(2010届?日照五莲一中高三段检)如图,以Ox为始边作角α与β( ) ,它们终边分别与单位圆相交于点P、Q,已知点P的坐标为( , )
(1)求 的值;
(2)若 ? ,求 。
解:(1)由三角函数定义得 ,
∴原式
?( ) =
(2) ? ,∴
∴ ,∴
要点考向2:函数y=Asin(ωx+φ)的解析式、图象问题
考情聚焦:1.三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象与解析式的问题,年看都会在高考中出现。
2.试题背景大多是给出图象或解析式中某些量满足的一些条件下,求解析式或另处一些量。多数考 查周期、频率、振幅、最值、对称中心、对称轴等概念以及图象的变换。
3.三种题型都有可能出现,属于中、低档题。
考向链接:1. 已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式时,常用的方法是待定系数法。 由图中的最大、最小值求出A,由周期确定ω,由适合解析式的点的坐标来确定φ的值。
2. 将点的坐标代入解析式时,要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点。“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为 ,其他依次类推即可。
例2:已知 是实数,则函数 的图象不可能是 ( )
【解析】选D.对于振幅大于1时,三角函数的周期为 ,而D不符合要求,
它的振幅大于1,但周期反而大于了 .
要点考向3:与三角函数的性质有关的问题
考情聚焦:1.有关三角函数的单调性、奇偶性、周期性及最值问题在历年高考中都会考查,是高考考查的重点内容。
2.试题背景呈现多样性、选择面广,往往与三角恒等变换、图象性质、平面向量等交汇命题。
3.三种题型都有可能出现,属中、低档题。
例3:已知函数
⑴求 的最小正周期及对称中心;
⑵若 ,求 的最大值和最小值.
【解析】⑴
∴ 的最小正周期为 ,
令 ,则 ,
∴ 的对称中心为 ;
⑵∵ ∴ ∴ ∴
∴当 时, 的最小值为 ;当 时, 的最大值为
【高考真题探究】
1.(2010?陕西高考理科?T3)对于函数 ,下列选项中正确的是( )
(A) 在( , )上是递增的 (B) 的图像关于原点对称
(C) 的最小正周期为2 (D) 的最大值 为2
【命题立意】本题考查倍角公式、三角函数的基本 性质,属保分题。
【思路点拨】 是奇函数 B
【规范解答】选B 因为 ,所以 是奇函数,因而 的图像关于原点对称,故选B
2.(2010?全国卷Ⅰ理科?T2)记 ,那么
A. B. - C. D. -
【命题立意】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识,着重考查了三角变换中的弦切互化.
【思路点拨】由 及 求出 ,再利用公式
求出 的值.
【规范解答】选B.【解析1】 ,
所以
【解析2】 ,
.
3.(2010?重庆高考文科?T15)如题(15)图,图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C,各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等。设 第i段弧所对的圆心角为 (i=1,2,3),则
【命题立意】本小题考查圆的性质等基础知识,考查三角函数的基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合的思想方法,考查化归与转化的思想.
【思路点拨】第i段弧所对的圆心角转化为与它同圆的劣弧所对的圆心角,再根据三个圆心确定的正三角形求解.
【规范解答】 作三段圆弧的连心线,连结一段弧的两个端点,如图 所示,△ 是正三角形,点P是其中心,根据圆的有关性质可知 ,第i段弧所对的圆心角为 都是 ,
所以
【方法技巧】利用圆的对称性等有关性质可以快捷解答.
4.(2010?福建高考文科?T10)将函数 的图像向左平移 个单位。若所得图象与原图象重合,则 的值不可能等于( )
A.4 B.6 C.8 D.12
【命题立意】本题考查三角函数的图像平移,解三角方程。
【思路点拨】先进行平移后,再比较与原函数的差异,解三角方程,或采用代入法求解。
【规范解答】选B,把向左平移 个单位得 ,
又该函数图像与原函数图像重合,所以 恒成立, , ,所以k不可能为6。
【方法技巧】注意应把 变为 而非 。图像的变换问题,依据三角函数的图像的变换口诀“左加右减,上加下减”即可解决。 一般地,函数 的图象,可以看作把曲线 上所有点向左(当 >0时)或向右(当 <0时)平行移动 个单位长度而得到。
5.(2010?广东高考文科?T16)设函数 , , ,
且以 为最小正周期.
(1)求 ;
(2)求 的解析式;
(3)已知 ,求 的值.
【命题立意】本题考察三角函数的性质以及三角变换.
【思路点拨】(2)由已知条件求出 ,从而求出 的解析式;
(3)由
【规范解答】(1)
(2) , ,所以 的解析式为:
(3)由 得 ,即
,
【方法技巧】三角函数的性质问题,往往都要先化成 的形式再求解.
6.(2010?湖北高考文科?T16)已经函数
(Ⅰ)函数 的图象可由函数 的图象经过怎样的变化得出?
(Ⅱ)求函数 的最小值,并求使 取得最小值的 的集合。
【命题立意】本题主要考查三角函数式的恒等变换、图象变换以及求三角函数的最值,同时考查考生的运算求解能力.
【思路点拨】(Ⅰ) 先将函数解析式等价变形为 的形式,再与 的表达式对照,比较它们的振幅、周期、相位等写出变化过程。
(Ⅱ)将函数 变形为 或 的形式再利用正、余弦函数的图象和性质求出最值。
【规范解答】(Ⅰ) ,所以要得到 的图象只需把 的图象向左平移 个单位长度,再将所得的图象向上平移 个单位长度即可。
(Ⅱ) ,
当且仅当 时 取得最小值 ,此时对应的 的集合为 。
【方法技巧】1、三角函数中的图象变换问题一般要先将表达式化简到 或 的形式(两函数所用三角函数要同名),然后再通过比较两函数的振幅、周期、相位等写出变化过程。
2、三角函数中的最值问题一般要先借用同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角公式等化到 或 的形式,然后结合三角函数的图像和性质求解。
【跟踪模拟训练】
一、选择题(本大题共6个小题,每小题6分,总分 36分)
1.已知△ABC中, ,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
2.下列关系式中正确的是( )
A. B.
C. D.
3.已知 ,那么角 是( )
A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角
4.已知函数 ,则要得到其导函数 的图象,只需将函数 的图象( )
(A)向左平移 个单位 (B)向右平移 个单位
(C)向左平移 个单位 (D)向右平移 个单位
5.若将函数 的图象向右平移 个单位后得到的图象关于点( ,0)对称,则 的最小值是( )
A. B. C. D.
6.已知函数 , 的图像与直线 的两个相邻交点的距离等于 ,则 的单调递增区间是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
二、填空题(本大题共3个小题,每小题6分,总分18分)
7.若 ,则 .
8.(2010?苏、锡、常、镇四市高三调研)函数 的最小正周期为 .
9.函数 ( 为常数, )在闭区间 上的图象如图所示,则 = .
三、解答题(10、11题每小题15分,12题16分 ,总分46分)
10. (本小题满分12分)
已知向量 与 互相垂直,其中 .
(1)求 和 的值;
(2)若 ,求 的值.
11.(2010?广州高三六校联考)
已知函数 的部分图象如图所示.
(1)求函数 的解析式;
(2)令 ,判断函数 的奇偶性,并说明理由.
12.已知向量
(1)若 求x的值;
(2)函数 ,若 恒成立,求实数c的取值范围.
参考答案
一、选择题
1.【解析】选D.由 知A为钝角,cosA<0排除A和B,再由 选D.
2.【解析】选C.因为 ,由于正弦函数 在区间 上为递增函 数,因此 ,即 .
3.【解析】选C.
4.【解析】选C .方法1:
方法2 :
故选C。
5.【解析】选A.将函数 的图象向右平移 个单位后得到的函数为
,
由
令
6.【解析】选C. ,由题设 的周期为 ,∴ ,
由 得, ,故选C
二、填空题
7.【解析】由题意可知 在第三象限,∴ ,
答案:
8.答案:
9.【解析】因为 , ,所以 .
答案:3
三、解答题
10.【解析】(1)∵ 与 互相垂直,则 ,即 ,代入 得 ,又 ,∴ .
(2)∵ , ,∴ ,
∴ ,
∴ .
11.【解析】(1)由图象知
的最小正周期 ,故
将点 代入 的解析式得 ,又 , ∴
故函数 的解析式为
(2)
,
故 为偶函数.
12.解析:(1)
由
因此
(2)
则 恒成立,得
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