数学(理科)
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页,共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷( 共40分)
一、本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1、已知集合 , ,那么集合 是( )
A. B.
C. D.
2、如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图,其中成绩分组区间是: , , , , , ,则图中 的值等于( )
A. B. ?
C. D.
3、已知圆的极坐标方程是 ,那么该圆的直角坐标方程是( )
A. B.
C. D.
4、已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
5、程序框图,运行相应的程序,当输入 的值为 时,输出 的值为( )
A.
B.
C.
D.
6、已知 ,那么 的值为( )
A. B. C. D.
7、过抛物线 焦点的直线交抛物线于 , 两点,若 ,则 的中点到 轴的距离等于( )
A. B. C. D.
8、已知函数 是定义在 上的奇函数,且当 时, (其中 是 的导函数),若 , , ,则 , , 的大小关系是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共110分)
二、题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9、已知向量 , ,若 ,则 ________.
10、若复数 是纯虚数,则实数 的值为________.
11、各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ,若 , ,则 的值为________, 的值为________.
12、如图, 为⊙ 的直径, 切⊙ 于点 ,且过点 的割线 交 的延长线于点 ,若 , ,则 ________, ________.
13、5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树,则每个地方至少有一名志愿者的方案共有________种.
14、在数列 中,若对任意的 ,都有 ( 为常数),则称数列 为比等差数列, 称为比公差.现给出以下命题:
①等比数列一定是比等差数列,等差数列不一定是比等差数列;
②若数列 满足 ,则数列 是比等差数列,且比公差 ;
③若数列 满足 , , ( ),则该数列不是比等差数列;
④若 是等差数列, 是等比数列,则数列 是比等差数列.
其中所有真命题的序号是________.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15、(本小题共13分)
已知函数 .
⑴ 求 的最小正周期;
⑵ 当 时,求 的取值范围.
16、(本小题共13分)
某校高三年级同学进行体育测试,测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级.测试结果如下表:(单位:人)
优秀良好合格
男
女
按优秀、良好、合格三个等级分层,从中抽取 人,其中成绩为优的有 人.
⑴ 求 的值;
⑵ 若用分层抽样的方法,在合格的同学中按男女抽取一个容量为 的样本,从中任选 人,记 为抽取女生的人数,求 的分布列及数学期望.
17、(本小题共14分)
如图, 是等边三角形, , ,将 沿 折叠到 的位置,使得 .
⑴ 求证: ;
⑵ 若 , 分别是 , 的中点,求二面角 的余弦值.
18、(本小题共14分)
已知函数 ( ).
⑴ 求 的单调区间;
⑵ 如果 是曲线 上的任意一点,若以 为切点的切线的斜率 恒成立,求实数 的最小值;
⑶ 讨论关于 的方程 的实根情况.
19、(本小题共13分)
已知椭圆 : ( )的离心率 ,原点到过点 , 的直线的距离是 .
⑴ 求椭圆 的方程;
⑵ 若椭圆 上一动点 关于直线 的对称点为 ,求 的取值范围.
⑶ 如果直线 ( )交椭圆 于不同的两点 , ,且 , 都在以 为圆心的圆上,求 的值.
20、(本小题共13分)
已知数列 , , , , ( ).
⑴求 , ;
⑵是否存在正整数 ,使得对任意的 ,有 ;
⑶设 ,问 是否为有理数,说明理由.
北京市东城区2014-2013学年度第二学期高三综合练习(二)
数学参考答案(理科)
一、(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
(1)B (2)C (3)A (4)D
(5)D (6)B (7)D (8)C
二、题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
(9) (10) (11)
(12) (13) (14)①③
注:两个空的填空题第一个空填对得3分,第二个空填对得2分.
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
(15)(共13分)
解:(Ⅰ)因为
.
所以 的最小正周期 .
(Ⅱ) 因为 ,
所以 .
所以 的取值范围是 . ………………………………13分
(16)(共13分)
解:(Ⅰ)设该年级共 人,由题意得 ,所以 .
则 .
(Ⅱ)依题意, 所有取值为 .
,
,
.
的分布列为:
. ………………………………………13分
(17)(共14分)
(Ⅰ)证明:因为
所以 ,
又因为 ,且 ,
所以 平面 ,
因为 平面 ,
所以 .
(Ⅱ)因为△ 是等边三角形,
, ,
不防设 ,则 ,
又因为 , 分别为 , 的中点,
由此以 为原点, , , 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 .
则有 , , , , , .
所以 , .
设平面 的法向量为 .
则
即
令 ,则 .
所以 .
又平面 的一个法向量为 .
所以 .
所以二面角 的余弦值为 . ………………………………14分
(18)(共14分)
解:(Ⅰ) ,定义域为 ,
则 .
因为 ,由 得 , 由 得 ,
所以 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .
(Ⅱ)由题意,以 为切点的切线的斜率 满足
,
所以 对 恒成立.
又当 时, ,
所以 的最小值为 .
(Ⅲ)由题意,方程 化简得
+
令 ,则 .
当 时, ,
当 时, ,
所以 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减.
所以 在 处取得极大值即最大值,最大值为 .
所以 当 ,即 时, 的图象与 轴恰有两个交点,
方程 有两个实根,
当 时, 的图象与 轴恰有一个交点,
方程 有一个实根,
当 时, 的图象与 轴无交点,
方程 无实根. ……14分
(19)(共13分)
解: (Ⅰ)因为 , ,
所以 .
因为原点到直线 : 的距离 ,
解得 , .
故所求椭圆 的方程为 .
(Ⅱ)因为点 关于直线 的对称点为 ,
所以
解得 , .
所以 .
因为点 在椭圆 : 上,
所以 .
因为 , 所以 .
所以 的取值范围为 .
(Ⅲ)由题意
消去 ,整理得
.
可知 .
设 , , 的中点是 ,
则 , .
所以 .
所以 .
即 .
又因为 ,
所以 .所以 . ………………………………13分
(20)(共13分)
解:(Ⅰ) ;
.
(Ⅱ)假设存在正整数 ,使得对任意的 ,有 .
则存在无数个正整数 ,使得对任意的 ,有 .
设 为其中最小的正整数.
若 为奇数,设 ( ),
则 .
与已知 矛盾.
若 为偶数,设 ( ),
则 ,
而
从而 .
而 ,与 为其中最小的正整数矛盾.
综上,不存在正整数 ,使得对任意的 ,有 .
(Ⅲ)若 为有理数,即 为无限循环小数,
则存在正整数 , ,对任意的 ,且 ,有 .
与(Ⅱ)同理,设 为其中最小的正整数.
若 为奇数,设 ( ),
当 时,有 .
与已知 矛盾.
若 为偶数,设 ( ),
当 时,有 ,
而
从而 .
而 ,与 为其中最小的正整数矛盾.
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