2012届高考数学函数模型及其应用知识归纳复习教案

编辑: 逍遥路 关键词: 高三 来源: 高中学习网
3.函数模型及其应用
知识归纳
1.求解函数应用问题的思路和方法


2.函数建模的基本流程

误区警示
求解函数应用题时,关键环节是审题,审题时:
一要弄清问题的实际背景,注意隐含条件;
二是将文字语言恰当准确的翻译为数学语
言,用数学表达式加以表示;
三是弄清给出什么条件,解决什么问题,通
过何种数学模型加以解决;
四是严格按各种数学模型的要求进行推理运
算,并对运算结果作出实际解释.
3.常见函数模型的理解
(1)一次函数模型(其增长特点是直线上升( 的系数 ),通过图象可很直观地认识它)、 二次函数型、正反比例函数型
(2)指数函数模型:能用指数型函数表达的函数模型,其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快 ,常形象地称之为“指数爆炸”。
(3)对数函数模型:能用对数函数表达式表达的函数模型,其增长特点是开始阶段增长得较快 ,但随着 的逐渐增大,其函数值变化越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”。
(4)幂函数模型:能用幂函数表示表达的函数模型,其增长情况随 中 的取值变化而定,常见的有二次函数模型。
(5)分式(“勾”) 函数模型:形如 的函数模型,在现实生活中有着广泛的应用,常利用“基本不等式”解决,有时通过利用导数研究其单调性来求最值。

四.典例解析
题型1:正比例、反比例、一次函数型和二次函数型
例1.某种商品原来定价为每件a元时,每天可售出m件,现在把定价降低x个百分点(即x%)后,售出数量增加了y个百分点,且每天的销售额是原来的k倍。
(1)设y=nx,其中n是大于1的常数,试将k写成x的函数;
(2)求销售额最大时x的值(结果可用喊n的式子表示);
(3)当n=2时,要使销售额比原来有所增加,求x的取值范围。
解:(1)依题意有a(1-x%)×m(1+y%)=kam,将y=nx代入,化简得
(2)由(1)知当 时,k值最大。因为销售额为amk,所以此时销售额也最大,且销售额最大为 元。
(3)当n=2时, 要使销售额有所增加,需k>1,所以 >0,故x∈(0,50),这就是说,当销售额有所增加时,降价幅度的范围需要在原价的一半以内。

题型2:分段函数型
例2某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元。
(I)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为51元?
(II)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为P元,写出函数 的表达式;
(III)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购1000个,利润又是多少元?(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本)
[解题思路]根据题意及“工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本”建立函数模型进行求解
【解析】(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元,一次订购量为 个,则 。
因此,当一次定购量为550个时,零件的实际出厂单价恰降为51元。
(2)当 时,P=60;
当 时, ;
当 时,P=51。
所以
(3)设销售商的一次订购量为 个时,该厂获得的利润为L元,则

当 时,L=6000;当 时,L=11000。
故当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是6000元;如果订购1000个,利润是11000元.
[名师指引]求解数学应用题必须突破三关:
(1)阅读理解关:一般数学应用题的文字阅读量都比较大,要通过阅读审题,找出关键词、句,理解其意义.
(2)建模关:即建立实际问题的数学模型,将其转化为数学问题.
(3)数理关:运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.
题型3:指数、对数型函数
例3.按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期利率为r,设本利和为y,存期为x,写出本利和y岁存期x变化的函数式,如果存入本金1000元,每期利率2.25%,试计算5期后的本利和是多少?
解:已知本金为a元,1期后的本利和为y1=a+a×r=a(1+r),2期后的的本利和为y2=a(1+r)2,。。。。x期后的本利和为:y=a(1+r)x,
将a=1000,r=2.25%,x=5代入得y=1000×(1+2.25%)5
用计算器可得y=1117.68(元)
点评:对于指数函数、对数函数要熟练应用近似计算的知识,来对事件进行合理的解析。
题型4:分式(不等式)型
例4.对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为: 为 , 要求清洗完后的清洁度为 . 有两种方案可供选择, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为 . 设用 单位质量的水初次清洗后的清洁度是 , 用 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是 , 其中 是该物体初次清洗后的清洁度.。
(Ⅰ)分别求出方案甲以及 时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少;
(Ⅱ)若采用方案乙, 当 为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨论 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.
解析:(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有 =0.99,解得x=19.
由 得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y满足方程: 解得y=4 ,故z=4 +3.
即两种方案的用水量分别为19与4 +3.
因为当 ,故方案乙的用水量较少.
(II)设初次与第二次清洗的用水量分别为 与 ,类似(I)得
, (*)
于是 +
当 为定值时, ,
当且仅当 时等号成立.此时

将 代入(*)式得
故 时总用水量最少,
此时第一次与第二次用水量分别为 ,
最少总用水量是 .
当 ,故T( )是增函数,这说明,随着 的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量.
点评:该题建立了函数解析式后,通过基本不等式“ ”解释了函数的最值情况,而解决了实际问题。该问题也可以用二次函数的单调性判断。

五.思维总结
1.将实际问题转化为函数模型,比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异,结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
2.怎样选择数学模型分析解决实际问题
数学应用问题形式多样,解法灵活。在应用题的各种题型中,有这样一类题型:信息由表格数据的形式给出,要求对数据进行合理的转化处理,建立数学模型,解答有关的实际问题。解答此类题型主要有如下三种方法:
(1)直接法:若由题中条件能明显确定需要用的数学模型,或题中直接给出了需要用的数学模型,则可直接代入表中的数据,问题即可获解;
(2)列式比较法:若题所涉及的是最优化方案问题,则可根据表格中的数据先列式,然后进行比较;
(3)描点观察法:若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型,则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点,作出散点图,然后观察这些点的位置变化情况,确定所需要用的数学模型,问题即可顺利解决。下面举例进行说明。
六:作业 《走向高考》
课后练习
1某地区上年度电价为0.8元/(千瓦?时),年用电量为a千瓦?时.本年度计划将电价降到0.55元/(千瓦?时)至0.75元/(千瓦?时)之间,而用户期望电价为0.4元/(千瓦?时).经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/(千瓦?时).
(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式;
(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?
〔注:收益=实际用电量×(实际电价-成本价)〕
[解题思路]先根据题意写出收益y与实际电价x的函数关系式,然后再列出不等式求解
[解析] (1)设下调后的电价为x元/(千瓦?时),依题意知用电量增至 +a,电力部门的收益为y=( +a)(x-0.3)(0.55≤x≤0.75).
(2)依题意有
整理得
解此不等式得0.60≤x≤0.75.
答:当电价最低定为0.60元/(千瓦?时)时,仍可保证电力部门的收益比去年至少增长20%.
2.运货卡车以每小时 千米的速度匀速行驶130千米路程,
按交通法规限制50≤x≤100 (单位: 千米/小时). 假设汽油的价格是每升2元, 而汽车每小时耗油 升, 司机的工资是每小时14元.
(Ⅰ)求这次行车总费用y关于y的表达式;
(Ⅱ)当 为何值时, 这次行车的总费用最低, 并求出最低费用的值(精确到小数点后两位, ).
[解题思路]根据题意建立y与x的函数关系,然后再求y的最小值
(Ⅰ)设行车所用时间为

所以,这次行车总费用 关于 的表达式是:

(或: )
(Ⅱ) ,
当且仅当 时,上述不等式中等号成立
答:当 约为56.88km/h时,这次行车的总费用最低,最低费用的值约为82.16元.
3.某厂家拟在2008年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足 ,如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件。已知2008年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用)。
(1)将2008年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;
(2)该厂家2008的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?
解:(1)由题意可知,当 ,
每件产品的销售价格为 (元),

(2) ,
(万元)时, (万元)。所以该厂家2006年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,最大值为21万元。

本文来自:逍遥右脑记忆 http://www.jiyifa.net/gaosan/75662.html

相关阅读: