数学（理）试卷
一、：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．设非空集合P、Q满足 ，则（ ）
A． B． ，有
C． ，使得 D． ，使得
2．已知 ，其中 是实数， 是虚数单位，则 的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3．设随机变量 服从正态分布N (3，7)，若 ，则a =（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．已知集合 ， ，且 ，则
A． B． C． D．
5．已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为（ ）
正视图 侧视图
俯视图
（第5题图） （第6题图）
A．4+ B．4+ C．4+ D．4+
6．如右上图，已知 为如图所示的程序框图输出的结果，二项式 的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为 ( )
A． B． C． D．
7．先后掷骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件 为“x +y为偶数”， 事件 为“x ，y中有偶数且“ ”，则概率 （ ）
A． B． C． D．
8．正项等比数列 中，存在两项 使得 ，且 ，则 的
最小值是( )
A． B．2 C． D．
9．设 满足约束条件 ，若 恒成立，则实数 的最大值为( )
A． B． C． D．
10．已知函数 是偶函数，且 ，当 时， ，则方程 在区间 上的解的个数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
二、题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题 分，共 分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，书写不清楚，模棱两可均不得分．
11．一个学校高三年级共有学生600人，其中男生有360人，女生有240人，为了调查高三学生的复习状况，用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为50的样本，应抽取女生 人．
12．已知函数 ( )的图象如下图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a的值为 ．
13．某小朋友按如右图所示的规则练习数数，1大拇指，2食指，
3中指，4无名指，5小指，6无名指， ，一直数到2013时，
对应的指头是 (填指头的名称)．
14．设 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆上任意一点，当
取最大值时的余弦值为 ．则（Ⅰ）椭圆的离心率为 ；
（Ⅱ）若椭圆上存在一点 ,使 ( 为坐标原点)，且 ,则 的值为 ．
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果给分．）
15．（选修4-1：几何证明选讲）
如图,在△ABC中,AB＝AC, 72° ,⊙O过A、B两点且与BC相切
于点B,与AC交于点D,连结BD,若BC＝ ,则 ．
16．（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知曲线 的极坐标方程分别为 ，
，则曲线 与 交点的极坐标为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分12分）设角 是 的三个内角,已知向量 ， ,且 .
(Ⅰ)求角 的大小；
(Ⅱ)若向量 ,试求 的取值范围.
18．（本题满分12分）某校要用三辆校车从新校区把教师接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，校车走公路①堵车的概率为 ，不堵车的概率为 ；校车走公路②堵车的概率为 ，不堵车的概率为 ．若甲、乙两辆校车走公路①，丙校车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．
（Ⅰ）若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为 ，求走公路②堵车的概率；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三辆校车中被堵车辆的个数 的分布列和数学期望．学
19．（本题满分12分）如图， 为矩形， 为梯形，平面 平面 ，
， .
（Ⅰ）若 为 中点，求证： ∥平面 ；
（Ⅱ）求平面 与 所成锐二面角的大小．
20．（本题满分12分）已知正项数列{an} 的前 项和 ， ．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）定理：若函数 在区间D上是下凸函数，且 存在，则当
时，总有 ．请根据上述定理，且已知函数 是
上的下凸函数，证明：bn ≥ 32 ．
21．（本题满分13分）抛物线 : 上一点 到抛物线 的焦点的距离为 ， 为抛物线的四个不同的点，其中 、 关于y轴对称， ， ， ， ，直线 平行于抛物线 的以 为切点的切线．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）证明： ；
（Ⅲ） 到直线 、 的距离分别为 、 ，且 ， 的面积为48，求直线 的方程．
22．（本题满分14分）已知函数 在 处的切线的斜率为1．
（ 为无理数， ）
（Ⅰ）求 的值及 的最小值；
（Ⅱ）当 时， ，求 的取值范围；
（Ⅲ）求证： ．（参考数据： ）
数学（理）试卷答案及解析
选择：BDCBA BBACB
11．20 12． 13．小指 14． ， 15．2 16．
1．【解析】 故选B．
2．【解析】 故选D．
3．【解析】由题意知对称轴为 ，故选C．
4．【解析】 故选B．
5．【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分 ，所以该几何体的体积为 ．故选A．
6．【解析】由程序框图得 ，通项公式 ， 的最小值为为5． 故选B．
7．【解析】 故选B．
8．【解析】 ， ，解得 ，
由 得 ，
（当 取等），故选A．
9．【解析】作出可行域，由 恒成立知
令 ，由图可知，当直线 与椭圆 相切时， 最小，消 得： 得 ∴ ．故选C．
10．【解析】由题意可得 ， 函数的周期是4， 可将问题转化为
与 在区间 有几个交点． 如图：由图知，有9个交点．选B．
11．【解析】 ．
12．【解析】 ， ，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a<0)．∴S阴影＝ [0－(－x3＋ax2)]dx＝(14x4－13ax3)0a＝112a4＝112，∴a＝ ．
13．【解析】∵小指对的数是5+8n，又∵2013=251×8+5，∴数到2013时对应的指头是小指．
14．【解析】设 分别为椭圆的长轴长，虚轴长，（Ⅰ）当点 位于短轴端点时， 最大， 得 或设
， ；
（Ⅱ）取 中点 ，由 得
设 得，
，
15．【解析】由已知得 ， ，解得 ．
16．【解析】由 解得 ，即两曲线的交点为 ．
17．【解答】(Ⅰ)由题意得 ，
即 ，由正弦定理得 ，
再由余弦定理得 ， .
(Ⅱ) ，
，
，
，
所以 ，故 .
18．【解答】（Ⅰ）由已知条件得 ， 即 ，则 ．
（Ⅱ）解： 可能的取值为0，1，2，3．
； ；
；
的分布列为：
0123
所以 ．
19．【解答】（Ⅰ）证明：连结 ，交 与 ，连结 ，
在 中， 分别为两腰 的中点， ∴ ，
面 ，又 面 ， 平面 ，
（Ⅱ）解法一：设平面 与 所成锐二面角的大小为 ，以 为空间坐标系的原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，则
设平面 的单位法向量为 ，则可设
设面 的法向量 ，应有
，
即： ，
解得： ，所以 ，
∴ ，所以平面 与 所成锐二面角为60°.
解法二：延长CB、DA相交于G，连接PG，过点D作DH⊥PG ，垂足为H，连结HC ，
∵矩形PDCE中PD⊥DC，而AD⊥DC，PD∩AD=D，
∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥PG，又CD∩DH=D，
∴PG⊥平面CDH，从而PG⊥HC，
∴∠DHC为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的平面角，
在 △ 中， ， ，
可以计算 ，
在 △ 中， ，
所以平面 与 所成锐二面角为60°.
20．【解答】（Ⅰ）当 时， 或 ．
由于{an} 是正项数列，所以 ．
当 时， ，
整理，得 ．
由于{an}是正项数列，∴ ．
∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．
从而 ，当 时也满足．∴ ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， 又 是 上的下凸函数，
根据定理，得 ，
令 ，整理得 ，
， ．
21．【解答】（Ⅰ） QF=3=2+ ， =2．
（Ⅱ） 抛物线方程为 ，A( )， D( )， B( ) ，C( )，
， ， ，
，， ，
，
所以直线AC和直线AB的倾斜角互补， ．
（Ⅲ）设 ，则m=n=ADsin ，
，
即 ，
把 与抛物线方程 联立得： ，
， ，同理可得 ，
，
， ．
22．【解答】（Ⅰ） ，由已知，得 ∴a＝1．
此时 ， ，
∴当 时， ；当 时， ．
∴当x＝0时，f(x)取得极小值，该极小值即为最小值，∴f(x)min＝f(0)＝0．
（Ⅱ）记 ， ,
设
①当 时， ， ，
， ， 时满足题意；
②当 时， ，得 ,
当 ， ， 在此区间上是减函数， ,
∴ 在此区间上递减， 不合题意.
综合得 的取值范围为 .
法二：当 时， ，即 ．
①当 时， ；②当 时， 等价于 ．
记 ， ，则 ．
记 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
且 ， 在 上单调递增，且 ，
当 时， ，从而 在 上单调递增．
由洛必达法则有， ．
即当 时， ，所以当 时，所以 ，因此 ．
的取值范围为 .
（Ⅲ）记 ， ，令 解得 ，
当 时函数 有最大值，且最大值为 ， ，
,
，
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