房山区2013年高考第一次模拟试卷
数 学 （文科） 2013.04
本试卷共4页，150分。考试时间长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。
一、：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知全集 ，集合 ，则
2.已知 为等差数列， 为其前 项和.若 ，则
3.执行如图所示的程序框图．若输出 ， 则框图中
① 处可以填入
4.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的统计表如下表所示，则
环数45678环数569
频数11111频数311
甲 乙
A.甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数B. 甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数
C.甲成绩的方差小于乙成绩的方差D. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差
5. “ ”是“函数 存在零点”的
A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.在正三角形 中， ， 是 上一点，且 ，则
A.
B.
C.
D.
7.某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥
的四个面的面积中，最大的是
A.
B.
C.
D.
8.设集合 是 的子集，如果点 满足： ，称 为
集合 的聚点.则下列集合中以 为聚点的有：
① ； ② ； ③ ； ④
A.②③B. ②④C. ①③D. ①③④
二、题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 复数 .
10.在△ABC中，角 所对的边分别为 ， 则角 的大小
为 .
11.直线 与圆 相交于 两点，则线段 的长等于 .
12.若不等式组 表示的平面区域是一个锐角三角形，则 的取值范是 .
13.某商品在最近 天内的单价 与时间 的函数关系是
日销售量 与时间 的函数关系是 .则这种商品
的日销售额的最大值为 .
14.已知函数 的定义域是D，若对于任意 ，当 时，都有 ，
则称函数 在D上为非减函数.设函数 在 上为非减函数，且满足以下三个
条件：① ； ② ； ③ .则 ，
.
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分13分)
已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数 在区间 上的最小值和最大值．
16. （本小题满分14分）
在四棱锥 中，底面 为直角梯形， // ，
， ， ， 为
的中点．
（Ⅰ）求证：PA//平面BEF；
（Ⅱ）求证： ．
17. （本小题满分13分）
日均值(微克/立方米)
33
481
793
97
是指大气中直径小于或等于 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 日均值在 微克/立方米以下空气质量为一级；在 微克/立方米 微克/立方米之间空气质量为二级；在 微克/立方米以上空气质量为超标．
某城市环保局从该市市区 年全年每天的 监测数据中随机的抽取 天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．
(Ⅰ) 若从这 天的数据中随机抽出 天，求至多有一天空气质量超标的概率；
(Ⅱ)根据这 天的 日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按 天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级？
18. (本小题满分13分)
已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 的单调区间；
（Ⅲ）若对任意的 ，都有 成立，求a的取值范围.
19. (本小题满分14分)
已知椭圆 和点 ，垂直于 轴的直线与椭圆 交于 两点，连结 交椭圆 于另一点 .
（Ⅰ）求椭圆 的焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）证明直线 与 轴相交于定点.
20.（本小题满分13分）
对于实数 ，将满足“ 且 为整数”的实数 称为实数 的小数部分，用记号 表示．例如 对于实数 ，无穷数列 满足如下条件：
， 其中
（Ⅰ）若 ，求数列 的通项公式；
（Ⅱ）当 时，对任意的 ，都有 ，求符合要求的实数 构成的集合 ；
（Ⅲ）设 （ 是正整数， 与 互质），对于大于 的任意正整数 ，是否都有 成立，证明你的结论．
房山区高三年级第一次模拟考试参考答案
数 学 （文科） 2013.04
一、：本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1A 2D 3B 4C 5B 6A 7C 8A
二、题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 10. 或 11.
12. 13. 14.
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.
15（本小题满分13分）
（Ⅱ） ………………………………9分
当 时， 此时 …………………………11分
当 时， 此时 …………13分
16（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：连接AC交BE于O，并连接EC,FO
// , , 为 中点
AE//BC,且AE=BC
四边形ABCE为平行四边形 …………………1分
O为AC中点 ………………………………...2分
又 F为AD中点
// ………………………......….4分
..……..……..5分
// …………………………………………..……..……..7分
17（本小题满分13分）
解：由茎叶图可知：6天有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标………2分
记未超标的4天为 ，超标的两天为 ，则从6天抽取2天的所有情况为：
，
基本事件总数为15 ……………………………………………………4分
（Ⅰ）记“至多有一天空气质量超标”为事件 ，则“两天都超标”为事件 ，
易得 ，
所以 ………………………………9分
（Ⅱ） 天中空气质量达到一级或二级的频率为 ……………11分
，
所以估计一年中平均有 天的空气质量达到一级或二级. ………… 13分
（说明：答243天，244天不扣分）
18（本小题满分13分）
（Ⅰ） 时， ………………1分
………………………………………………2分
曲线 在点 处的切线方程 ………………3分
（Ⅱ） …………………………………………………4分
①当 时， 恒成立，函数 的递增区间为
………………………………………………………………6分
②当 时，令 ，解得 或
x( 0, )
( ,1)
f’(x)-+
f(x)减增
所以函数 的递增区间为 ，递减区间为
…………………………………………………………………8分
（Ⅲ）对任意的 ，使 成立，只需任意的 ，
①当 时， 在 上是增函数，
所以只需
而
所以 满足题意； …………………………………………………………………9分
②当 时， ， 在 上是增函数，
所以只需
而
所以 满足题意；…………………………………………………………………10分
③当 时， ， 在 上是减函数， 上是增函数，
所以只需 即可
而
从而 不满足题意； …………………………………………………………………12分
综合①②③实数 的取值范围为 ．………………………………13分
19（本小题满分14分）
（Ⅰ）由题意知： 所以
所以，焦点坐标为 ； 离心率 …………………………4分
（Ⅱ）由题意知：直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为
………………………………5分
， ，则 ，
由 得
则 (1) ………………………………8分
直线AE的方程为 ，
令 ，得 (2) ………………………………10分
又 ， 代入(2)式，得 (3)
把(1)代入(3)式，整理得
所以直线AE与 轴相交于定点 . ………………………………14分
20（本小题满分13分）
（Ⅰ） ， ，
，
所以 ……………………………………4分
（Ⅱ） ， 则 ，从而
则 所以
解得： （ ，舍去） ……………….6分
所以集合 . ………………………………………7分
（Ⅲ）结论成立. ……………………………………………8分
易知 是有理数，所以对一切正整数 ， 为0或正有理数，
设 （ 是非负整数， 是正整数，且 互质）
由 ，可得 ； …………………………………9分
若 ，设 （ ， 是非负整数）
则 ，而由 得
，故 ， ，可得 ………11分
若 则 ，
若 均不为0，则这 个正整数 互不相同且都小于 ，但小于 的正整数共有 个，矛盾.
故 中至少有一个为0，即存在 ，使得 .
从而数列 中 以及它之后的项均为0，
所以对于大于 的自然数 ，都有 …………………………………………13分
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