2013-2014学年第一学期高三9月月考题
数学试题
（考查时间：90分钟）（考查内容：全部）
一、：（每小题6分）
1. 已知集合 ,则 ( )
A. B. C. D.
2．若复数 的实部与虚部相等，则实数 ( )
A. B. C. D.
3从甲、乙等 名志愿者中选出 名，分别从事 ， ， ， 四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事 工作，则不同的工作分配方案共有
A. 种B. C. 种D. 种
4 （ ）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为（ ）
A. 120B. 210C. 252D. 45
5设不等式组 表示的平面区域为 .若圆 不经过区域 上的点,则 的取值范围是Xk b1. Co
A. B. C. D.
6、已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②的图象对应的函数为( )．
A. B. C. D.
7函数 的零点个数为 A.1B.2C.3D.4
8. 已知 关于 的一元二次不等式 的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的 的值之和是
A.13 B.18C.21D.26
9.已知函数 ,其中 为实数,若 对 恒成立,且 .则下列结论正确的是
A. B.
C. 是奇函数D. 的单调递增区间是
10.抛一枚均匀硬币，正反每面出现的概率都是 ，反复这样投掷，数列 定义如下： ，若 ，则事件“ ”的概率是（ ）
A． B. C. D.
11. 已知 的外接圆半径为1，圆心为O，且 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
12．已知 为平面内两定点,过该平面内动点 作直线 的垂线,垂足为 .若 ,其中 为常数,则动点 的轨迹不可能是（ ）
A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线
二、题（每小题6分）
13. 三棱锥 及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱 的长为___ ______.
14．观察下列算式：
， ， ，
，
… … … …
若某数 按上述规律展开后，发现等式右边含有“ ”这个数，则 _______．
15. 已知 当 取得最小值时，直线 与曲线 的交点个数为
16.已知 是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的 ，满足 ， ，
考查下列结论：① ；② 为偶函数；③数列 为等比数列；④数列 为等差数列。其中正确的是_________ .
三、解答题
17.（本题满分12分）已知数列 满足 ， ，数列 满足 .
（1）证明数列 是等差数列并求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 .
18.(本小题满分14分)
现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击两次,每次命中的概率为 ,每命中一次得1分,没有命中得0分;向乙靶射击一次,命中的概率为 ,命中得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.
(I)求该射手恰好命中两次的概率;
(II)求该射手的总得分 的分布列及数学期望 ;
19. （本题满分14分）
设 是抛物线 上相异两点， 到y轴的距离的积为 且 ．
（1）求该抛物线的标准方程.
（2）过Q的直线与抛物线的另一交点为R，与 轴交点为T，且Q为线段RT的中点，试求弦PR长度的最小值．
20.(本题满分14分)设 ，曲线 在点 处的切线与直线 垂直.
(1)求 的值;
(2) 若 ， 恒成立，求 的范围.
(3)求证： 2013-2014学年第一学期高三9月月考题
数学试题答案
一、
123456789101112
BABBDCBCDBAC
二、题
13. 14. 15. 2 16. _①③④_
三、解答题
17.解（1）证明：由 ，得 ，
∴ ---------------------2分
所以数列 是等差数列，首项 ，公差为 -----------4分
∴ ------------------6分
（2） -------------------------7分
----①
-------------------②----------9分
①-②得
-----------------------------------11分
------------------------------------------12分
18.解:(I)记:“该射手恰好命中两次”为事件 ,“该射手第一次射击甲靶命中”为事件 ,“该射手第二次射击甲靶命中”为事件 ,“该射手射击乙靶命中”为事件 .
由题意知, ,
所以
.…………………………………………………………6分
(II)根据题意, 的所有可能取值为0,1,2,3,4.
, .
,
,
,……11分
故 的分布列是
01234
…………………12分
所以 .………………………14分
19. 解：（1）∵ OP→•OQ→＝0，则x1x2＋y1y2＝0，--------------------------1分
又P、Q在抛物线上，故y12＝2px1，y22＝2px2，故得
y122p•y222p ＋y1y2＝0， y1y2＝－4p2
--------------------------3分
又x1x2＝4，故得4p2＝4，p=1．
所以抛物线的方程为: ------------5分
（2）设直线PQ过点E(a,0）且方程为x＝y＋a
联立方程组
消去x得y2－2y－2a＝0
∴ ① --------------------------------7分
设直线PR与x轴交于点(b,0)，则可设直线PR方程为x＝ny＋b,并设R(x3,y3)，
同理可知 ② --------------------------9分
由①、②可得
由题意，Q为线段RT的中点，∴ y3＝2y2，∴b=2a
又由（Ⅰ）知， y1y2＝－4，代入①，可得
－2a＝－4 ∴ a＝2．故b＝4．----------------------11分
∴
∴
.
当n=0，即直线PQ垂直于x轴时PR取最小值 --------------------14分
20.解：(1) -----------------------2分
由题设 ，
， . -------------------------------4分
(2) , ， ，即
设 ，即 .
-------------------------------------6分
①若 ， ，这与题设 矛盾.-----------------8分
②若 方程 的判别式
当 ，即 时， . 在 上单调递减，
，即不等式成立. ----------------------------------------------------------------------9分
当 时，方程 ，其根 ， ，
当 , 单调递增， ，与题设矛盾.
综上所述， .------------------------------------------------------------------------10分
(3) 由(2)知,当 时, 时, 成立.
不妨令
所以 ，
----------------------11分
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