宁波效实中学高三起始考（理科数学）
说明：本试卷分第Ⅰ卷()和第Ⅱ卷(非)两部分，共100分．
请在答题卷内按要求作答
第Ⅰ卷（选择题　共30分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1、函数 的单调递增区间是
A． B． C． D．
2、设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
A．63 B．45 C．36 D．27
3、函数 的部分图象如图所示,则 的值分别是
A． B． C． D．
4、已知数列 满足 ,则 的前10项和等于
A． B． C． D．
5、设等差数列 的公差 不为0， ．若 是 与 的等比中项，则
A．2 B．4 C．6 D．8
6、已知 ,则
A． B． C． D．
7、在 中，已知 是 边上一点，若 ，则
A． B． C． D．

8、已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：c），可得这个几何体的体积是
A． B． C． D．

9、已知函数 ,下列结论中错误的是
A． 的图像关于 中心对称 B． 的图像关于直线 对称
C． 的最大值为 D． 既奇函数,又是周期函数
10、在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则PA2＋PB2PC2等于
A．2 B．4 C．5 D．10
第Ⅱ卷（非选择题　共70分）
二、题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．
11、已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ____.
12、若 ，.则 　　　　.
13、已知向量a，b夹角为45°，且a＝1，2a－b＝10，则b＝________.

14、已知平面向量a，b，c不共线，且两两之间的夹角都相等，若a＝2，b＝2，c＝1，则a＋b＋c与a的夹角是________．
15、如图 中,已知点D在BC边上,AD AC, 则 的长为_______________

16、下面有五个命题：
①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是 .
②终边在y轴上的角的集合是
③在同一坐标系中，函数 的图象和函数 的图象有三个公共点.
④把函数
⑤函数
其中真命题的序号是 （写出所有真命题的编号）
17、已知点O在二面角 的棱上，点P在 内，且 。若对于 内异于O的任意一点Q，都有 ，则二面角 的大小是__________.

三、解答题：本大题共5小题，共49分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18、已知 < < < .
（1）求 的值；
（2）求 .
19、设锐角三角形 的内角 的对边分别为 ， ．
（1）求 的大小；
（2）求 的取值范围．
20、已知函数 .
（1）求f(x)的最小正周期;
（2）求f(x)在区间 上的最大值和最小值.
21、设 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列，且 ， ，
（1）求 ， 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 ．
22、如图，在四棱锥 中， 底面 ，
， ，
是 的中点．
（1）证明 ；
（2）证明 平面 ；
（3）求二面角 的正切值。
宁波效实中学高三起始考（理科数学）
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分．
请在答题卷内按要求作答
第Ⅰ卷（选择题　共30分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1、函数 的单调递增区间是
A． B． C． D．
【答案】D
2、设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
A．63B．45C．36D．27
【答案】B
3、函数 的部分图象如图所示,则 的值分别是
(A) (B) (C) (D)
【答案】A

4、已知数列 满足 ,则 的前10项和等于
(A) (B) (C) (D)
答案C
5、设等差数列 的公差 不为0， ．若 是 与 的等比中项，则
Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．8
【答案】B
6 、已知 ,则
A. B. C. D.
【答案】C

7、在 中，已知 是 边上一点，若 ，则
A． B． C． D．
【答案】A
8、已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：c），可得这个几何体的体积是
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

【答案】B
9．已知函数 ,下列结论中错误的是
(A) 的图像关于 中心对称 (B) 的图像关于直线 对称
(C) 的最大值为 (D) 既奇函数,又是周期函数
【答案】C
10、在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则PA2＋PB2PC2＝
A．2 B．4 C．5 D．10
【答案】D

第Ⅱ卷（非选择题　共70分）
二、题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．
11、已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 _____
12、若 ，.则 　　 　　.
13、已知向量a，b夹角为45°，且a＝1，2a－b＝10，则b＝________.
[答案] 32
14、已知平面向量a，b，c不共线，且两两之间的夹角都相等，若a＝2，b＝2，c＝1，则a＋b＋c与a的夹角是________．
答案60°　
15、如图 中,已知点D在BC边上,AD AC, 则 的长为_______________
【答案】

16、下面有五个命题：
①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是 .
②终边在y轴上的角的集合是{aa= .
③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.
④把函数
⑤函数
其中真命题的序号是 ① ④ （（写出所有真命题的编号））
17、已知点O在二面角 的棱上，点P在 内，且 。若对于 内异于O的任意一点Q，都有 ，则二面角 的大小是____ ____。

三、解答题：本大题共5小题，共49分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18、已知 < < < ,
（1）求 的值.
（2）求 .
分析：本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。
解：（Ⅰ）由 ，得
∴ ，于是
（Ⅱ）由 ，得
又∵ ，∴
由 得：

所以

19、已知函数 .
（1）求f(x)的最小正周期;
（2）求f(x)在区间 上的最大值和最小值.
解：

20、设 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列，且 ， ，
（1）求 ， 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 ．
解：
（Ⅰ）设 的公差为 ， 的公比为 ，则依题意有 且
解得 ， ．
所以 ，
．
（Ⅱ） ．
，①
，②
②－①得 ，

21、设锐角三角形 的内角 的对边分别为 ， ．
（1）求 的大小；
（2）求 的取值范围．
解：（Ⅰ）由 ，根据正弦定理得 ，所以 ，
由 为锐角三角形得 ．
（Ⅱ）
．
由 为锐角三角形知，
， ． ，
所以 ．由此有 ，
所以， 的取值范围为 ．

22、如图，在四棱锥 中， 底面 ，
， ，
是 的中点．
（1）证明 ；
（2）证明 平面 ；
（3）求二面角 的正切值。

分析：本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．
解：（Ⅰ）证明：在四棱锥 中，因 底面 ， 平面 ，故 ．
， 平面 ．
而 平面 ， ．
（Ⅱ）证明：由 ， ，可得 ．
是 的中点， ．
由（Ⅰ）知， ，且 ，所以 平面 ．
而 平面 ， ．
底面 在底面 内的射影是 ， ， ．
又 ，综上得 平面 ．
（Ⅲ）解法一：过点 作 ，垂足为 ，连结 ．则（Ⅱ）知， 平面 ， 在平面 内的射影是 ，则 ．
因此 是二面角 的平面角．
由已知，得 ．设 ，
可得 ．
在 中， ， ，
则 ．在 中， ．
所以二面角 的大小是 ．
解法二：由题设 底面 ， 平面 ，则平面 平面 ，交线为 ．
过点 作 ，垂足为 ，故 平面 ．过点 作 ，垂足为 ，连结 ，故 ．因此 是二面角 的平面角．
由已知，可得 ，设 ，
可得 ．
， ．
于是， ．
在 中， ．
所以二面角 的大小是 ．

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