32．（普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））椭圆 的左、右焦点分别是 ,离心率为 ,过 且垂直于 轴的直线被椭圆 截得的线段长为1.
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)点 是椭圆 上除长轴端点外的任一点,连接 ,设 的角平分线 交 的长轴于点 ,求 的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过 点作斜率为 的直线 ,使得 与椭圆 有且只有一个公共点,设直线 的斜率分别为 ,若 ,试证明 为定值,并求出这个定值.
【答案】解:(Ⅰ)由于 ,将 代入椭圆方程 得
由题意知 ,即 又
所以 , 所以椭圆方程为
(Ⅱ)由题意可知: = , = ,设 其中 ,将向量坐标代入并化简得:( ,因为 ,
所以 ,而 ,所以
(3)由题意可知,l为椭圆的在p点处的切线,由导数法可求得,切线方程为:
,所以 ,而 ,代入 中得
为定值.
33．（高考上海卷（理））(3分+5分+8分)如图,已知曲线 ,曲线 ,P是平面上一点,若存在过点P的直线与 都有公共点,则称P为“C1—C2型点”.
(1)在正确证明 的左焦点是“C1—C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);
(2)设直线 与 有公共点,求证 ,进而证明原点不是“C1—C2型点”;
(3)求证:圆 内的点都不是“C1—C2型点”.
【答案】:(1)C1的左焦点为 ,过F的直线 与C1交于 ,与C2交 于 ,故C1的左焦点为“C1-C2型点”,且直线可以为 ;
(2)直线 与C2有交点,则
,若方程组有解,则必须 ;
直线 与C2有交点,则
,若方程组有解,则必须
故直线 至多与曲线C1和C2中的一条有交点,即原点不是“C1-C2型点”.
(3)显然过圆 内一点的直线 若与曲线C1有交点,则斜率必存在;
根据对称性,不妨设直线 斜率存 在且与曲线C2交于点 ,则
直线 与圆 内部有交点,故
化 简得, ............①
若直线 与曲线C1有交点,则
化简得, .....②
由①②得,
但此时,因为 ,即①式不成立;
当 时,①式也不成立
综上, 直线 若与圆 内有交点,则不可能同时与曲线C1和C2有交点,
即圆 内的点都不是“C1-C2型点” .
34．（普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））如图,在正方形 中, 为坐标原点,点 的坐标为 ,点 的坐标为 .分别将线段 和 十等分,分点分别记为 和 ,连结 ,过 做 轴的垂线与 交于点 .
(1)求证:点 都在同一条抛物线上,并求该抛物线 的方程;
(2)过点 做直线与抛物线 交于不同的两点 ,若 与 的面积比为 ,求直线的方程.
【答案】解:(Ⅰ)依题意,过 且与x轴垂直的直线方程为
, 直线 的方程为
设 坐标为 ,由 得: ,即 ,
都在同一条抛物线上,且抛物线 方程为
(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为
由 得
此时 ,直线与抛物线 恒有两个不同的交点
设: ,则
又 ,
分别带入 ,解得
直线的方程为 ,即 或
35．（高考湖南卷（理））过抛物线 的焦点F作斜 率分别为 的两条不同的直线 ,且 , 相交于点A,B, 相交于点C,D.以AB,CD为直径的圆,圆N(,N为圆心)的公共弦所在的直线记为 .
(I)若 ,证明; ;
(II)若点到直线 的距离的最小值为 ,求抛物线E的方程.
36．（普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））如图,点 是椭圆 的一个顶点, 的长轴是圆 的直径. 是过点 且互相垂直的两条直线,其中 交圆 于两点, 交椭圆 于另一点
(1)求椭圆 的方程; (2)求 面积取最大值时直线 的方程.
【答案】解:(Ⅰ)由已知得到 ,且 ,所以椭圆的方程是 ;
(Ⅱ)因为直线 ,且都过点 ,所以设直线 ,直线 ,所以圆心 到直线 的距离为 ,所以直线 被圆 所截的弦 ;
由 ,所以
,所以
,
当 时等号成立,此时直线
37．（普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如题(21)图,椭圆的中心为原点 ,长轴在 轴上,离心率 ,过左焦点 作 轴的垂线交椭圆于 两点, .
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)取垂直于 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 ,过 作圆心为 的圆,使椭圆上的其余点均在圆 外.若 ,求圆 的标准方程.
38．（普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））设椭圆 的焦点在 轴上
(Ⅰ)若椭圆 的焦距为1,求椭圆 的方程;
(Ⅱ)设 分别是椭圆的左、右焦点, 为椭圆 上的第一象限内的点,直线 交 轴与点 ,并且 ,证明:当 变化时,点 在某定直线上.
【答案】解: (Ⅰ) .
(Ⅱ) .
由 .
所以动点P过定直线 .
39．（高考新课标1（理））已知圆 : ,圆 : ,动圆 与 外切并且与圆 内切,圆心 的轨迹为曲线 C.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ) 是与圆 ,圆 都相切的一条直线, 与曲线C交于A,B两点,当 圆P的半径最长时,求AB.
【答案】由已知得圆 的圆心为 (-1,0),半径 =1,圆 的圆心为 (1,0),半径 =3.
设动圆 的圆心为 ( , ),半径为R. [:ww5ykj.Co]
(Ⅰ)∵圆 与圆 外切且与圆 内切,∴P+PN= = =4,
由椭圆的定义可知,曲线C是以,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为 的椭圆(左顶点除外),其方程为 .
(Ⅱ)对于曲线C上任意一点 ( , ),由于P-PN= ≤2,∴R≤2,
当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.
∴当圆P的半径最长时,其方程为 ,
当 的倾斜角为 时,则 与 轴重合,可得AB= .
当 的倾斜角不为 时,由 ≠R知 不平行 轴,设 与 轴的交点为Q,则 = ,可求得Q(-4,0),∴设 : ,由 于圆相切得 ,解得 .
当 = 时,将 代入 并整理得 ,解得 = ,∴AB= = .
当 =- 时,由图形的对称性可知AB= ,
综上,AB= 或AB= .
40．（普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设椭圆 的左焦点为F, 离心率为 , 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若 , 求k的值.
【答案】
41．（高考江西卷（理））如图,椭圆 经过点 离心率 ,直线 的方程为 .
(1)求椭圆 的方程;
(2) 是经过右焦点 的任一弦(不经过点 ),设直线 与直线 相交于点 ,记 的斜率分别为 问:是否存在常数 ,使得 ?若存在求 的值;若不存在,说明理由.
【答案】解:(1)由 在椭圆上得, ①
依题设知 ,则 ②
②代入①解得 .
故椭圆 的方程为 .
(2)方法一:由题意可设 的斜率为 ,
则直线 的方程为 ③
代入椭圆方程 并整理,得 ,
设 ,则有
④
在方程③中令 得, 的坐标为 .
从而 .
注意到 共线,则有 ,即有 .
所以
⑤
④代入⑤得 ,
又 ,所以 .故存在常数 符合题意.
方法二:设 ,则直线 的方程为: ,
令 ,求得 ,
从而直线 的斜率为 ,
联立 ,得 ,
则直线 的斜率为: ,直线 的斜率为: ,
所以 ,
故存在常数 符合题意.
42．（普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））已知抛物线 的顶点为原点,其焦点 到直线 : 的距离为 .设 为直线 上的点,过点 作抛物线 的两条切线 ,其中 为切点.
(Ⅰ) 求抛物线 的方程;
(Ⅱ) 当点 为直线 上的定点时,求直线 的方程;
(Ⅲ) 当点 在直线 上移动时,求 的最小值.
【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线 的方程为 ,由 结合 ,解得 .
所以抛物线 的方程为 .
(Ⅱ) 抛物线 的方程为 ,即 ,求导得
设 , (其中 ),则切线 的斜率分别为 , ,
所以切线 的方程为 ,即 ,即
同理可得切线 的方程为
因为切线 均过点 ,所以 ,
所以 为方程 的两组解.
所以直线 的方程为 .
(Ⅲ) 由抛物线定义可知 , ,
所以
联立方程 ,消去 整理得
由一元二次方程根与系数的关系可得 ,
所以
又点 在直线 上,所以 ,
所以
所以当 时, 取得最小值,且最小值为 .
43．（普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））平面直角坐标系 中,过椭圆 的右焦点 作直 交 于 两点, 为 的中点,且 的斜率为 .
(Ⅰ)求 的方程;
(Ⅱ) 为 上的两点,若四边形 的对角线 ,求四边形 面积的最大值.
【答案】
44．（高考湖北卷（理））如图,已知椭圆 与 的中心在坐标原点 ,长轴均为 且在 轴上,短轴长分别为 , ,过原点且不与 轴重合的直线 与 , 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 , , , .记 , 和 的面积分别为 和 .
(I)当直线 与 轴重合时,若 ,求 的值;
(II)当 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 ,使得 ?并说明理由.
【答案】解:(I) ,
解得: (舍去小于1的根)
(II)设椭圆 , ,直线 :
同理可得,
又 和 的的高相等
如果存在非零实数 使得 ,则有 ,
即: ,解得
当 时, ,存在这样的直线 ;当 时, ,不存在这样的直线 .
45．（高考北京卷（理））已知A、B、C是椭圆W: 上的三个点,O是坐标原点.
(I)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;
(II)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.
【答案】解:(I)椭圆W: 的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分. 所以可设A(1, ),代入椭圆方程得 ,即 . 所以菱形OABC的面积是 .
(II)假设四边形OABC为菱形. 因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为 .
由 消去 并整理得 .
设A ,C ,则 , .
所以AC的中点为( , ).
因为为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为 .
因为 ,所以AC与OB不垂直. 所以OABC不是菱形,与假设矛盾.
所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.
46．（高考陕西卷（理））已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦N的长为8.
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线 与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是 的角平分线, 证明直线 过定点.
【答案】解:(Ⅰ) A(4,0),设圆心C
(Ⅱ) 点B(-1,0), .
直线PQ方程为:
所以,直线PQ过定点(1,0)
47．（普通高等学校招生统一考试辽宁数 学（理）试题（WORD版））如图,抛物线 ,点 在抛物线 上,过 作 的切线,切点为 ( 为原点 时, 重合于 ) ,切线 的斜率为 .
(I)求 的值;
(II)当 在 上运动时,求线段 中点 的轨迹方程.
【答案】
48．（普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,离心率为 直线 与 的两个交点间的距离为 .
(I)求 ;
(II)设过 的直线 与 的左、右两支分别相交于 两点,且 ,证明: 成等比数列.
【答案】
49．（上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.
已知抛物线 的焦点为 .
(1)点 满足 .当点 在抛物线 上运动时,求动点 的轨迹方程;
(2)在 轴上是否存在点 ,使得点 关于直线 的对称点在抛物线 上?如果存在,求所有满足条件的点 的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)设动点 的坐标为 ,点 的坐标为 ,则 ,
因为 的坐标为 ,所以 ,
由 得 .
即 解得
代入 ,得到动点 的轨迹方程为 .
(2)设点 的坐标为 .点 关于直线 的对称点为 ,
则 解得
若 在 上,将 的坐标代入 ,得 ,即 或 .
所以存在满足题意的点 ,其坐标为 和 .
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