江西省赣州市四所重点中学(赣州一中、平川中学、瑞金中学、赣州三中)第一学期期末联考高三数学试题(理科)一、选择题(每小题5分，共50分)1、已知x, y∈R, i为虚数单位，且(x?2)i?y＝－1＋i，则(1＋i)x＋y的值为A．4B．－4C．4＋4iD．2i2、下列命题中正确的是A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p且q”为真命题B．“sinα＝”是“α＝”的充分不必要条件C．l为直线，α,β为两个不同的平面，若l⊥β,α⊥β, 则l∥αD．命题“(x∈R, 2x＞0”的否定是“(x0∈R,≤0”3、平面α∥平面β，点A, C∈α, B, D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是A．AB∥CDB．AD∥CBC．AB与CD相交D．A, B, C, D四点共面4、已知向量a, b的夹角为60°，且a＝2, b＝1，则向量a与向量a＋2b的夹角等于A．150°B．90°C．60°D．30°5、一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几何体的表面积是A．B．＋6C．11πD．＋36、过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A, B两点，O为坐标原点。若AF＝3，则△AOB的面积为A．B．C．D．2 7、已知函数f(x)＝ax3＋x2在x＝－1处取得极大值，记g(x)＝。程序框图如图所示，若输出的结果S＝，则判断框中可以填入的关于n的判断条件是A．n≤ B．n≤C．n＞ D．n＞8、已知双曲线的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1、A2，P为双曲线上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两个圆的位置关系为A．相交B．相切C．相离D．以上情况都有可能9、已知函数f(x)＝－1的定义域是[a, b](a, b∈Z)，值域是[0, 1]，则满足条件的整数对(a, b)共有A．2个B．5个C．6个D．无数个10、设D＝{(x, y)(x－y)(x＋y)≤0}，记“平面区域D夹在直线y＝－1与y＝t(t∈[－1,1])之间的部分的面积”为S，则函数S＝f(t)的图象的大致形状为二、填空题（每小题5分，共25分）11、设O为坐标原点，C为圆(x－2)2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M(x, y)满足?＝0，则＝ 。12、已知f(n)＝1+(n∈N*)，经计算得f(4)＞2, f(8)＞, f(16)＞3, f(32)＞,……，观察上述结果，则可归纳出一般结论为 。13、给出下列四个命题：①函数y＝2cos2(x＋)的图像可由曲线y＝1＋cos2x向左平移个单位得到；②函数y＝sin(x＋)＋cos(x＋)是偶函数；③直线x＝是曲线y＝sin(2x＋)的一条对称轴；④函数y＝2sin2(x＋)的最小正周期是2π.其中不正确命题的序号是。14、随机地向区域内投点，点落在区域的每个位置是等可能的，则坐标原点与该点连线的倾斜角小于的概率为。15、(注意：请在下面两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)（1）（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和(t∈R)，它们的交点坐标为。（2）设函数f(x)＝x?a?2，若不等式f(x)＜1的解为x∈(－2, 0)∪(2, 4)，则实数a＝。三、解答题(12分＋12分＋12分＋12分＋13分＋14分＝75分)16、(12分)已知函数f(x)＝2cos2x?sin(2x?).（1）求函数f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时x的取值集合；（2）已知△ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c，若f(A)＝, b＋c＝2，求实数a的最小值。17、(12分)某足球俱乐部10月份安排4次体能测试，规定：按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则4次测试都要参加。若运动员小李4次测试每次合格的概率组成一个公差为的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过，且他直到第二次测试才合格的概率为。（1）求小李第一次参加测试就合格的概率P1；（2）求小李10月份参加测试的次数(的分布列和数学期望。18、(12分)已知函数f(x)＝logkx(k为常数，k＞0且k≠1)，且数列{f(an)}是首项为4，公差为2的等差数列。（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）若bn＝an?f(an)，当k＝时，求数列{bn}的前n项和Sn。19、(12分)如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面为正方形，O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O。（1）求证：平面O1DC⊥平面ABCD；（2）若∠A1AB＝60°，求平面BAA1与平面CAA1的夹角的余弦值。20、(13分)如图，设F(－c, 0)是椭圆的左焦点，直线l：x＝－与x轴交于P点，MN为椭圆的长轴，已知MN＝8，且PM＝2MF。（1）求椭圆的标准方程；（2）过点P的直线m与椭圆相交于不同的两点A, B。①证明：∠AFM＝∠BFN；②求△ABF面积的最大值。21、(14分)已知函数f(x)＝在x＝0，x＝处存在极值。（1）求实数a, b的值；（2）函数y＝f(x)的图象上存在两点A, B使得△AOB是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在y轴上，求实数c的取值范围；（3）当c＝e时，讨论关于x的方程f(x)＝kx (k∈R)的实根个数。~学年度第一学期期末考试高三数学(理科)试题参考答案及评分标准一、选择题(每小题5分，共50分。)题号答案BDDDDCABBC二、填空题（每小题5分，共25分）11、±12、 13、①④14、 15、⑴ （1，） ⑵ 1三、解答题（共75分）16、（1）f(x)=2cos2x-sin(2x-)=(1+cos2x)-(sin2xcos-cos2xsin)=1+sin2x+cos2x=sin(2x+)+1 …………(3分)所以函数f(x)的最大值为2. …………(4分)此时sin(2x+)=1，即2x+=2kπ+(kz) 解得x=kπ+(kz)故x的取值集合为{x x=kπ+，kz} …………(6分)（2）由题意f(A)=sin(2A+)+1=,化简得sin(2A+)=，∵A（0，π）, 2A+(,). A= …………(8分) 在三角形ＡＢＣ中，根据余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc?cos=（b+c)2-3bc …………(10分)由b+c=2 知bc()2=1, 即a21 当b=c=1时,实数a的最小值为1. …………(12分)17、（1）设小李四次测试合格的概率依次为：a, a＋, a＋, a＋(a≤)， …………(2分)则(1－a)(a＋)＝，即,解得(舍)， …………(5分)所以小李第一次参加测试就合格的概率为； …………(6分)（2）因为P((＝1)＝， P((＝2)=，P((＝3)＝，P((＝4)＝1－P((＝1)－P((＝2)－P((＝3)＝， …………(8分)则(的分布列为(1234P…………(10分)所以， 即小李10月份参加测试的次数(的数学期望为. …………(12分)18、（1）证明：由题意知f(an)＝4＋(n－1)×2＝2n＋2， …………(2分)即logkan＝2n＋2，∴an＝k2n＋2， …………(3分)∴. …………(5分)∵常数k＞0且k≠1，∴k2为非零常数，∴数列{an}是以k4为首项，k2为公比的等比数列。 …………(6分)（2）由（1）知，bn＝anf(an)＝k2n＋2?(2n＋2)，当k＝时，bn＝(2n＋2)?2n＋1＝(n＋1)?2n＋2. …………(8分)∴Sn＝2?23＋3?24＋4?25＋…＋(n＋1)?2n＋2， ①2Sn＝2?24＋3?25＋…＋n?2n＋2＋(n＋1)?2 n＋3， ② …………(10分)②－①，得Sn＝?2?23?24?25?…?2n＋2＋(n＋1)?2n＋3 ＝?23?(23＋24＋25＋…＋2n＋2)＋(n＋1)?2n＋3,∴Sn＝?23?＋(n＋1)?2n＋3＝n?2n＋3. …………(12分)19、（1）连结AC,BD,AC,则O为AC,BD的交点O1为A1C1,B1D1的交点。由平行六面体的性质知：A1O1∥OC且A1O1=OC,四边形A1OCO1为平行四边形， ………(2分)A1O∥O1C. 又∵A1O⊥平面ABCD，O1C⊥平面ABCD, ………(4分)又∵O1C平面O1DC, 平面O1DC⊥平面ABCD。 ………(6分)（2）由题意可知RtA1OB≌RtA1OA,则A1A=A1B，又∠A1AB=600，故A1AB是等边三角形。 …………(7分)不妨设AB=a, 则在RtA1OA中，OA=a, AA1=a, OA1=a,如图分别以OB,OC,OA1为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系，则可得坐标为A(0,-a,0), B(a,0,0), A1(0,0,,a) …………(8分)=(a,a,0)， =(-a,0,a)设平面ABA1的法向量为=(x,y,z)则由?=0得x+y=0,由?=0得x-z=0令x=1得=(1,-1,1) …………(10分)又知BD⊥平面ACC1A1，故可得平面CAA1的一个法向量为=(1,0,0)cosθ==从而平面BAA1与平面CAA1的夹角的余弦值为。 …………(12分)20、（1） ∵MN＝8, ∴a＝4， …………(1分)又∵PM＝2MF，∴e＝， …………(2分)∴c＝2, b2＝a2－c2＝12， ∴椭圆的标准方程为 …………(3分)（2）①证明：当AB的斜率为0时，显然∠AFM＝∠BFN＝0，满足题意；…………(4分)当AB的斜率不为0时，设AB的方程为x＝my－8，代入椭圆方程整理得(3m2＋4)y2－48my＋144＝0. …………(5分)△＝576(m2－4), yA＋yB＝, yAyB＝.则,而2myAyB－6(yA＋yB)＝2m?－6?＝0， …………(7分)∴kAF＋kBF＝0，从而∠AFM＝∠BFN.综合可知：对于任意的割线PAB，恒有∠AFM＝∠BFN. …………(8分)②方法一：S△ABF＝S△PBF－S△PAF …………(10分)即S△ABF＝，…………(12分)当且仅当，即m＝±时（此时适合于△＞0的条件）取到等号。∴△ABF面积的最大值是3. …………(13分)方法二：点F到直线AB的距离 …………(10分)， …………(12分)当且仅当，即m＝±时取等号。 …………(13分)21、（1）当x＜1时，f ' (x)＝－3x2＋2ax＋b.因为函数f(x)在x＝0, x＝处存在极值，所以解得a＝1, b＝0. …………(3分)（2）由（1）得根据条件知A, B的横坐标互为相反数，不江西省赣州市四所重点中学届高三上学期期末联考数学（理）试题 Word版含答案
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