重庆市铜梁中学届高三1月月考数学（理）试题1．已知两个集合，，则（ ）A． B． C． D．2．若是纯虚数，则=（ ）A． B． C． D．3．某程序框图如图1所示，若该程序运行后输出的值是,则（ ）． ． 　． ．4．给出下列四个结论：①若命题则；②“”是“”的充分而不必要条件；③命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程没有实数根，则0”；④若，则的最小值为．其中正确结论的个数为（ ）．　　　 ．　． D．5．函数的图象大致为（ ）6．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a >0，b>0）的最小值为2，则的最大值为 （ ）A．1 B． C． D． 8．若函数在上有最小值，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．9．如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（ ）A．B． C． D．10．在所在的平面内，点满足，，且对于任意实数，恒有， 则 （ ）A． B． C． D．11．已知函数 ，则 .12．的展开式中各项二项式系数的和为64，则该展开式中的常数项为 . 13．有9 名翻译人员，其中6人只能做英语翻译，2人只能做韩语翻译，另外1人既可做英语翻译也可做韩语翻译. 要从中选5人分别接待5个外国旅游团，其中两个旅游团需要韩语翻译，三个需要英语翻译，则不同的选派方法为_______________种方法。14．在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是 ． 15．若关于x的不等式x－1 －x+2 ≥ a的解集为R，则实数a的取值范围是 16．如右图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则CD＝ .17．（本小题13分）已知函数.(Ⅰ)求函数f(x)的单调递减区间；(Ⅱ)若△ABC的三边满足，且边所对角为，试求的取值范围，并确定此时的取值范围．18. （本题满分13分）某省示范高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在规定期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．(规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座)统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：信息技术生物化学物理数学周一周三周五(Ⅰ) 求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；(Ⅱ) 设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．19．(本题满分13分)已知函数，在处取得极小值。(Ⅰ) 求函数的单调区间；(Ⅱ) 若对恒成立，求实数m的取值范围。20.（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列满足, 且,其中.(Ⅰ) 求数列的通项公式；(Ⅱ) 设数列满足,是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由。21. （本题满分12分）已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点D(0,)为圆心，1为半径的圆相切，又知双曲线C的一个焦点与D关于直线y=x对称．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线经过M（－2，0）及AB的中点，求直线在y轴上的截距b的取值范围； （Ⅲ）若Q是双曲线C上的任一点，F1F2为双曲线C的左，右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．22. （本题满分12分）已知函数f(x)是在（0,+∞）上每一点处可导的函数，若＞f(x)在（0，+(）上恒成立.（Ⅰ）求证：函数g(x)=在（0,+∞）上单调递增；（Ⅱ）已知不等式ln(1+x)＜x在x＞－1且x≠0时恒成立，证明： ln22+ln32+ln42+…+ln(n+1)2>(n ( N+).11． 12． 13. 50 14. 15. 16. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 解(Ⅰ)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A，则P(A)＝＝.(Ⅱ)ξ的可能取值为0,1,2,3,4,5.P(ξ＝0)＝4×＝；P(ξ＝1)＝C××3×＋4×＝；P(ξ＝2)＝C×2×2×＋C××3×＝；P(ξ＝3)＝C×3××＋C×2×2×＝；P(ξ＝4)＝4×＋C×3××＝；P(ξ＝5)＝4×＝.所以，随机变量ξ的分布列如下：ξ012345P故E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝. 19．，由由 则， ………………………6分（2）由则要使对恒成立，只需， 即， 得，所以实数m的取值范围是 ………………………13分20.解：(1) 因为,即 又,所以有,即所以数列是公比为的等比数列.由得,解得。从而，数列的通项公式为。 ………………………6分(2)=，若成等比数列，则，即．由，可得，所以，解得：。又，且，所以，此时．故当且仅当，.使得成等比数列。 ………………………12分21. 解：（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx－y=0∵该直线与圆x2+(y－)2=1相切，有= 1 ( k =±1.∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x, 故设双曲线C的方程为 ．易求得双曲线C的一个焦点为 (,0)，∴2a2=2，a2=1．∴双曲线C的方程为x2－y2=1． ………………………分（Ⅱ）由 得(1－m2)x2－2mx－2=0．令f(x)= (1－m2)x2－2mx－2直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在(－(,0)上有两个不等实根．因此 　 解得1 ，> ,于是f(x1)＜f(x1+x2), f(x2)＜f(x1+x2), 两式相加得到：f(x1)+f(x2)＜f(x1+x2) g(x)= 在(0,+()上是单调增函数, f(x1+x2)> f(x1)+f(x2) (x1>0,x2>0)恒成立易证：当xi＞0(i=1,2,3,…,n)时,有f(x1)+f(x2)+f(x3)+… +f(xn)＜f(x1+x2+x3+…+xn) (n≥2)恒成立.构造f(x)=xlnx，知－f(x)＝x(lnx+1)－xlnx=x>0符合条件，则当xi＞0(i=1,2,3,…,n)时有x1lnx1+x2lnx2+…+xnlnxn＜(x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+…+xn)（n≥2）（*）恒成立.令xn=,记Sn=x1+x2+…+xn=++…+， 则Sn＜++…+=(1－)+(－)+…+(－)=1－,Sn＞+…+=(－)+(－)+…+(－)=－(x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+…+xn). ……………………12分 第16题图重庆市铜梁中学届高三1月月考数学（理）试题
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