2012-2013学年福建省福州市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．（5分）i为虚数单位，复数z=i（1?i），则在复平面内对应的点在（　　）　A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的乘法，求得复数z，根据共轭复数的定义求得的值，即得在复平面内对应的点的坐标．解答：解：∵复数z=i（1?i）=1+i，则=1?i，它在复平面内的对应点的坐标为（1，?1），故在复平面内对应的点在第四象限，故选D．点评：本题考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘法，复数与复平面内对应点之间的关系，求出=1?i，是解题的关键．　2．（5分）如图设全集U为整数集，集合A={x∈N1≤x≤8}，B={0，1，2}则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为（　　）　A．3B．4C．7D．8考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：计算题．分析：根据阴影部分对应集合，进行集合运算，再根据含有N个元素的集合的真子集的个数是2N?1个求解．解答：解：A={1，2，3，4，5，6，7，8}，图中阴影对应A∩B，A∩B={1，2}，∴真子集有3个．故选A点评：本题考查Venn图表示集合关系及集合的交集运算．　3．（5分）（2012?山东）设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（　　）　A．p为真B．?q为假C．p∧q为假D．p∨q为真考点：复合命题的真假．专题：规律型．分析：由题设条件可先判断出两个命题的真假，再根据复合命题真假的判断规则判断出选项中复合命题的真假即可得出正确选项解答：解：由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题P是假命题；函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题由此结合复合命题的判断规则知：?q为真命题，p∧q为假命题，p∨q为是假命题考查四个选项，C选项正确，故选C点评：本题考查复合命题的真假判断，解题的关键是正确判断所涉及命题的真假及熟练掌握复合命题的真假判断规则，本题属于高考常考题型也是对命题考查的常规题型，知识性强，难度不大　4．（5分）（2013?烟台一模）对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：x24568y2040607080根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+，据此模型来预测当x=20时，y的估计值为（　　）　A．210B．210.5C．211.5D．212.5考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程求出a，最后将x=20代入求出相应的y即可．解答：解：∵==5，==54∴这组数据的样本中心点是（5，54）把样本中心点代入回归直线方程=10.5x+，∴54=10.5×5+a，∴a=1.5，∴回归直线方程为=10.5x+1.5，当x=20时，=10.5×20+1.5=211.5，故选C．点评：本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．　5．（5分）“∥”是“存在唯一实数λ，使得=λ”的（　　）　A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件　C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：平面向量及应用．分析：本题研究充分条件与必要条件的判断，利用充分条件与必要条件的定义结合向量平行的知识作出判断选出正确选项．解答：解：对于“∥”，当向量是零向量，而向量不是零向量，则不存在实数λ，使得=λ”，故“∥”不能得出“存在唯一实数λ，使得=λ”；反之，根据平行向量基本定理，是成立的．故“∥”是“存在唯一实数λ，使得=λ”的必要而不充分条件．故选B．点评：本题着重考查了平行向量基本定理、充要条件等知识，属于基础题．　6．（5分）函数y=1og5（1?x）的大致图象是（　　）　A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：把原函数变形为y=log5[?（x?1）]，利用函数图象的对称变换和平移变换即可得到答案．解答：解：由y=1og5（1?x），得：y=log5[?（x?1）]，∵y=log5[?（x?1）]的图象是把函数y=log5（?x）的图象向右平移一个单位得到的，而y=log5（?x）的图象与函数y=log5x的图象关于y轴对称，由此可知，函数y=1og5（1?x）的大致图象是选项C的形状．如图，故选C．点评：本题考查了函数图象的变化，函数y=f（x+a）+b的图象是把函数y=f（x）的图象向左（a＞0）或向右（a＜0）平移a个单位，然后再把函数y=f（x+a）的图象向上（b＞0）或向下（b＜0）平移b个单位得到，此题是基础题．　7．（5分）△ABC中，若sinB既是sinA，sinC的等差中项，又是sinA，sinC的等比中项，则∠B的大小是（　　）　A．30°B．45°C．60°D．90°考点：余弦定理；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．分析：依题意，可求得（sinA?sinC）2=0，从而可利用正弦定理求得a=b=c，继而可得答案．解答：解：∵△ABC中，sinB既是sinA，sinC的等差中项，又是sinA，sinC的等比中项，∴2sinB=sinA+sinC，sin2B=sinA?sinC∴4sin2B=（sinA+sinC）2∴4sinA?sinC=（sinA+sinC）2（sinA+sinC）2?4sinA?sinC=0即（sinA?sinC）2=0，∴sinA=sinC，于是2sinB=2sinA=2sinC，∴sinB=sinA=sinC，即：a=b=c，∴B=60°故选C．点评：本题考查等差数列与等比数列的通项公式，考查正弦定理与等量代换，求得sinA=sinC是关键，属于中档题．　8．（5分）在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“”发生的概率为（　　）　A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：先化简不等式，确定满足sin（x+）≥且在区间[0，π]内x的范围，根据几何概型利用长度之比可得结论．解答：解：∵，即sin（x+）≥，∴sin（x+）≥，∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴在区间[，]内，满足sin（x+）≥的x+∈[，]，∴在区间[0，π]内，满足sin（x+）≥的x∈[，]，∴事件发生的概率为P==．故选B．点评：本题考查几何概型，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于中档题．　9．（5分）若运行如图所示的程序，则输出S的值是（　　）　A．B．C．D．考点：伪代码．专题：图表型．分析：首先根据程序框图，理解其意义，然后按照程序顺序进行执行循环，当满足跳出循环的条件时输出结果．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件S=+…+的值．解答：解：根据题意，本程序框图为求和运算第1次循环：S=0+ i=2第2次循环：S= i=3…第2012次循环：S=+…+，此时，i=2013＞2012．输出S=+…+=1?=．故选C．点评：本题考查程序框图，通过对程序框图的认识和理解按照程序框图的顺序进行执行．通过按照循环体的执行，考查运算能力．属于基础题　10．（5分）已知函数半个周期内的图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（　　）　A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而求得函数f（x）的解析式．解答：解：由函数的图象可得 M=2，?=+，解得ω=1．再由五点法作图可得 1×（?）+φ=0，φ=，故函数f（x）的解析式为 ，故选A．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+?）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于中档题．　11．（5分）若点A（m、n）在第一象限，且在直线2x+3y=5上，则的最小值为（　　）　A．B．C．4D．5考点：基本不等式．分析：由题意可得，2m+3n=5，m，n＞0，而=（）（2m+3n），展开后利用基本不等式可求的最小值解答：解：由题意可得，2m+3n=5，m，n＞0则=（）（2m+3n）=≥=25当且仅当即m=n=1时取等号则的最小值25故选D点评：本题考查基本不等式的应用，注意配凑基本不等式的应用条件，注意1的代换　12．（5分）能够把圆O：x2+y2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是（　　）　A．f（x）=x3B．C．f（x）=ex?e?xD．f（x）=1n[（4?x）（4+x）]考点：圆的标准方程．专题：新定义．分析：由圆O的“和谐函数”的定义，我们易分析出函数f（x）是奇函数，逐一分析四个函数的奇偶性，可得答案．解答：解：若函数f（x）是圆O的“和谐函数”，则函数的图象经过圆心且关于圆心对称由圆O：x2+y2=16的圆心为坐标原点故函数f（x）是奇函数由于A中f（x）=x3，B中，C中f（x）=ex?e?x均为奇函数，在中f（x）=1n[（4?x）（4+x）]为偶函数，不满足要求故选D点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，其中根据新定义圆O的“和谐函数”判断出满足条件的函数为奇函数是解答的关键．　二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13．（4分）以椭圆的右焦点为焦点，且顶点在原点的抛物线标准方程为　y2=4x　．考点：抛物线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：依题意，可求得椭圆+y2=1的右焦点，利用抛物线的简单性质即可求得答案．解答：解：∵椭圆+y2=1的右焦点F（，0），∴以F（，0）为焦点，顶点在原点的抛物线标准方程为y2=4x．故答案为：y2=4x．点评：本题考查抛物线的标准方程，考查椭圆与抛物线的简单性质，属于中福建省福州市2012-2013学年高三（上）期末数学试卷（文科）（含解析）
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