西安市第一中学—学年度第二学期模拟考试高三数学理科试题第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则集合中的元素的个数为（ ）A．5 B.4 C.3 D.2复数的实部是 （ ） A． B． C． D．在等差数列中，，则的值为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5等差数列，则，则．考点：等差数列条件，条件，则是的（? ）A．充分非必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要的条件已知双曲线的左、右焦点分别为,过作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为,若的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为（ ）A.0 B.1 C. 2 D. －1A． C． D．80【答案】C【解析】试题分析：如图所示的三视图是以左视图所示等腰梯形为底的直四棱柱，其底面上底长为2，下底长为4，高为4，故底面积，腰长为：，则底面周长为：，则其侧面积，则该几何体的表面积为，故选C．考点：三视图，几何体的表面积．8.△ABC的三个内角，，所对的边分别为，，，，则（ ） A． B． C． D．设第一象限内的点满足约束条件，若目标函数的最大值为40，则的最小值为（ ）（A） （B） （C）1 （D）4简单线性规划 基本不等式规定表示不超过的最大整数，例如：[3.1]=3，[2.6]=3，[2]=2；若是函数导函数，设，则函数的值域是（ ）A．B．C．D.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知向量，，．若与共线，则________. 12.观察下列式子：,…,根据以上式子可以猜想：_________; 函数 的图象和函数的图象的交点个数是 。 如图所示，在一个边长为1的正方形内，曲线和曲线围成一个叶形图（阴影部分），向正方形内随机投一点（该点落在正方形内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是 .【解析】试题分析：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：，所以．考点：几何概型；定积分．15. 请考生任选1题作答，如果多做，则按所做的前1题计分．（1）（2）和，它们的交点坐标为____________ （3）（几何证明选讲选做题）如图所示，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB = 7, C是圆上一点使得BC = 5，，则AB =____________ 【解析】试题分析：∵，，∴，∴，∴，∴．考点：圆的切线的性质定理．三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. (本小题满分12分)设函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当时，的最大值为2，求的值，并求出的对称轴方程．（Ⅰ）（Ⅱ）的对称轴方程．17.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中,底面,且底面为正方形,分别为的中点．（I）求证: 平面;（II）求平面和平面的夹角. 【答案】（I）（II）18.（本小题满分12分）已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前n项的和为，且.?（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）记,求证：.19. (本小题满分12分)某高校在自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)， 第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．分别求第3，4，5组的频率；（Ⅱ） 若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，(?) 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；(?) 学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有名学生被考官D面试，求的分布列和数学期望.第3，4，5组的频率；（Ⅱ）学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率的分布列012P数学期望20.（本题满分13分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点.（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.（Ⅰ）（Ⅱ）抛物线上存在一点，使得与关于直线对称（Ⅱ）∵ 倾斜角为的直线过点，∴ 直线的方程为，即，………………………7分由（Ⅰ）知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线对称，则得 ， ………………………………………9分解得，即， ………………………………………11分又满足，故点在抛物线上。所以抛物线上存在一点，使得与关于直线对称。 ………………………………13分（本题满分14分）设函数．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．（Ⅱ）方法1：∵，∴．……………………6分令，∵，且，由． 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的陕西省西安市第一中学届高三下学学期第二次模拟考试试题（数学 理）
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