1．函数f(x)＝log5(x－1)的零点是(　　)
A．0　　　　　　　　　　B．1
C．2 D．3
解析：选C.log5(x－1)＝0，解得x＝2，
∴函数f(x)＝log5(x－1)的零点是x＝2，故选C.
2．根据表格中的数据，可以判断方程ex－x－2＝0必有一个根在区间(　　)
x－10123
ex0.3712.787.3920.09
x＋212345
A.(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
解析：选C.设f(x)＝ex－x－2，∵f(1)＝2.78－3＝－0.22＜0，f(2)＝7.39－4＝3.39＞0.∴f(1)f(2)＜0，由根的存在性定理知，方程ex－x－2＝0必有一个根在区间(1,2)．故选C.
3．(2010年高考福建卷)函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0－2＋lnx，x＞0的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0，得x1＝1(舍去)，x2＝－3；当x＞0时，由f(x)＝－2＋lnx＝0，得x＝e2，所以函数f(x)的零点个数为2，故选C.
4．已知函数f(x)＝x2－1，则函数f(x－1)的零点是________．
解析：由f(x)＝x2－1，得y＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x，∴由x2－2x＝0.解得x1＝0，x2＝2，因此，函数f(x－1)的零点是0和2.
答案：0和2

1．若函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(　　)
A．0,2 B．0，－12
C．0，12 D．2，12
解析：选B.由题意知2a＋b＝0，
∴b＝－2a，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，
使g(x)＝0，则x＝0或－12.
2．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．a＜1 B．a＞1
C．a≤1 D．a≥1
解析：选B.由题意知，Δ＝4－4a<0，∴a>1.
3．函数f(x)＝lnx－2x的零点所在的大致区间是(　　)
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(e,3)
解析：选B.∵f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3－23＞0，
∴f(2)•f(3)＜0，∴f(x)在(2,3)内有零点．
4．下列函数不存在零点的是(　　)
A．y＝x－1x B．y＝2x2－x－1
C．y＝x＋1　x≤0x－1　x＞0 D．y＝x＋1　x≥0x－1　x＜0
解析：选D.令y＝0，得A和C中函数的零点均为1，－1；B中函数的零点为－12，1；只有D中函数无零点．
5．函数y＝loga(x＋1)＋x2－2(0＜a＜1)的零点的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．无法确定
解析：选C.令loga(x＋1)＋x2－2＝0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即考查图象y1＝loga(x＋1)与y2＝－x2＋2的交点个数．
6．设函数y＝x3与y＝(12)x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：选B.设f(x)＝x3－(12)x－2，
则f(0)＝0－(12)－2<0；f(1)＝1－(12)－1<0；f(2)＝23－(12)0>0.∴函数f(x)的零点在(1,2)上．
7．函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．
解析：设方程f(x)＝0的另一根为x，
由根与系数的关系，得1＋x＝－2aa＝－2，
故x＝－3，即另一个零点为－3.
答案：－3
8．若函数f(x)＝3ax－2a＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)＝3ax－2a＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，所以有f(－1)•f(1)≤0，即(－5a＋1)•(a＋1)≤0，(5a－1)(a＋1)≥0，
所以5a－1≥0a＋1≥0或5a－1≤0，a＋1≤0，解得a≥15或a≤－1.
答案：a≥15或a≤－1.
9．下列说法正确的有________：
①对于函数f(x)＝x2＋x＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则函数f(x)在区间(a，b)内一定没有零点．
②函数f(x)＝2x－x2有两个零点．
③若奇函数、偶函数有零点，其和为0.
④当a＝1时，函数f(x)＝x2－2x－a有三个零点．
解析：①错，如图．

②错，应有三个零点．

③对，奇、偶数图象与x轴的交点关于原点对称，其和为0.
④设u(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，如图向下平移1个单位，顶点与x轴相切，图象与x轴有三个交点．∴a＝1.
答案：③④
10．若方程x2－2ax＋a＝0在(0,1)恰有一个解，求a的取值范围．
解：设f(x)＝x2－2ax＋a.
由题意知：f(0)•f(1)＜0，
即a(1－a)＜0，根据两数之积小于0，那么必然一正一负．故分为两种情况．
a＞0，1－a＜0，或a＜0，1－a＞0，
∴a＜0或a＞1.
11．判断方程log2x＋x2＝0在区间[12，1]内有没有实数根？为什么？
解：设f(x)＝log2x＋x2，
∵f(12)＝log212＋(12)2＝－1＋14＝－34＜0，
f(1)＝log21＋1＝1＞0，∴f(12)•f(1)＜0，函数f(x)＝log2x＋x2的图象在区间[12，1]上是连续的，因此，f(x)在区间[12，1]内有零点，即方程log2x＋x2＝0在区间[12，1]内有实根．
12．已知关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，探究a为何值时，
(1)方程有一正一负两根；
(2)方程的两根都大于1；
(3)方程的一根大于1，一根小于1.
解：(1)因为方程有一正一负两根，
所以由根与系数的关系得a－1a＜0Δ＝12a＋4＞0，
解得0＜a＜1.即当0＜a＜1时，方程有一正一负两根．
(2)法一：当方程两根都大于1时，函数y＝ax2－2(a＋1)x＋a－1的大致图象如图(1)(2)所示，新标第一网

所以必须满足a＞0Δ＞0a＋1a＞1f1＞0，或a＜0Δ＞0a＋1a＞1f1＜0，不等式组无解．
所以不存在实数a，使方程的两根都大于1.
法二：设方程的两根分别为x1，x2，由方程的两根都大于1，得x1－1＞0，x2－1＞0，
即x1－1x2－1＞0x1－1＋x2－1＞0
⇒x1x2－x1＋x2＋1＞0x1＋x2＞2.
所以a－1a－2a＋1a＋1＞02a＋1a＞2⇒a＜0a＞0，不等式组无解．
即不论a为何值，方程的两根不可能都大于1.
(3)因为方程有一根大于1，一根小于1，函数y＝ax2－2(a＋1)x＋a－1的大致图象如图(3)(4)所示，

所以必须满足a＞0f1＜0或a＜0f1＞0，解得a＞0.
∴即当a＞0时，方程的一个根大于1，一个根小于1.

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