普通高中程标准实验教科书 [北师版] ?必修1
第四 函数应用
§4.2.1 实际问题的函数刻画（学案）
【学习目标】
１.知识技能：
（１）培养学生由实际问题转化为问题的建模能力。
（２）使学生会利用函数图象的和性质，对函数进行处理，得出数学结论，并根据数学结论解决实际问题。
（３）通过学习函数基本模型的应用，初步向学生渗透理论与实践的辨证关系。
２.过程与方法：
（１）通过实际问题情境，了解实际问题中量与量之间的变化规律，可以用函数刻画，研究函数的性质就等价于研究实际问题中量与量之间的函数关系。
（２）通过学生的讨论、探究，使学生会将实际问题抽象、概括，化归为函数问题，进而逐步培养解决实际问题的能力。
３.情感、态度与价值观：
（１）体会事物发展变化的 “对立统一”规律，培养学生辨证唯物主义思想。
（２）教育学生爱护环境，维护生态平衡。
（３）体会研究函数问题的一般方法，体验由具体到抽象的思维过程，感受常用的简单重要函数模型在实际问题中的作用，领悟方程与数形结合的数学思想，培养学生的合作意识，概括归纳能力和科学的思维方式。
【学习重点】常用简单函数模型的应用。
【学习难点】实际问题的函数刻画化归。
【学法指导】利用多媒体手段，根据教师的引导启发，同学们之间的交流合作、讨论、观察、分析、概括、归纳、总结，达到教学目标的要求。
【前预习】阅读教科书P137~P139，尝试完成以下两题：
1．商店的一种商品每个进价80元，零售价100元．为了促进销售，开展购一商品赠送一个小礼品的活动，在一定的范围内，礼品价格每增加l元，销售量增加10％．求利润与礼品价格”之间的函数关系．
2．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到al，a2，…，an，共n个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值”“是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据差的平方和最小．依此规定，请用a1，a2，…，an表示出a．
【堂互动】
[堂引入]
有一大群兔子在喝水嬉戏，但这群兔子曾使澳大利亚人伤透了脑筋？为什么？还是从头说起：
1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且兔子没有天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了澳大利亚，数量达75亿只，兔子太多，为了生存，变得可恶起，75亿只兔子，吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲畜，这些使澳大利亚人头痛不已，他们采用了各种方法，消灭兔子，直至20世纪50年代，科学家采用载液病毒杀死了90%的兔子，澳大利亚人才算松了一口气。
问题：自然界一个种群的数量增加有无规律？能否用数学的方法刻画，怎么刻画？
[活动过程1]
问题1 当人的生活环境温度改变时，人体代谢率也有相应的变化．表4—2给出了实验的一组数据，这组数据能说明什么?
表4—2
环境温度/（℃）410203038
代谢率／4185J／（h•m2）60444040．554
分析:
（1） 该问题中反映的信息中有哪些量?
（2） 这几个量之间存在怎样的依赖关系?
（3） 数据提供的信息是什么（揭示了怎
样的规律）?
（4）上述规律有什么现实指导意义？


[活动过程2]
问题2 某厂生产一种畅销的新型工艺品，为此更新专用设备和制作模具花去厂200000元，生产每上艺品的直接成本为300元，每工艺品的售价为500元，产量x对总成本C、单位成本P、销售收入R以及利润L之间存在什么样的函数关系?表示了什么实际含义，
（1）该问题中反映的信息中有哪些量?
（2） 这几个量之间存在怎样的依赖关系?

[活动过程3]
问题3 如图4—7，在一条弯曲的河道上，设置了六个水监测站．现在需要在河边建一个情报中心，从各监测站沿河边分别向情报中心铺没专用通信电缆，怎样刻画专用通信电缆的总长度?
解:

[堂小结]：本节我们通过几例实际问题，体会到了用一次函数（分段）模型刻画实际问题的方法，明白数形结合法是研究函数性质，解决实际问题的有效方法
问题1：当环境温度改变时，人体代谢率也有相应的变化，通过对实验数据的分析，它可以确定由环境温度值到人体代谢率各数值的一个函数，通过对这个函数的学习，我们体会到用函数能够刻画（社会的）人的代谢率与温度（自然的）的关系。
问题2：总成本C，单位成本P，销售收入R，利润L都是产量x的函数。
问题3：用“以直代曲”的办法，可确定电缆总长度的函数。
通过以上实例可以看出函数作为描述变量之间依赖关系的数学模型在刻画现实问题中具有广泛的应用。小到一个人的成长过程，大到一个国家的人口增长；小到一架飞机的飞行路线，大到天体的运动轨迹；小到冰块的温度变化过程，大到全球温度的变暖，都可利用函数进行刻画和研究。
[堂练习]
1．某市有甲乙两家乒乓球俱乐部，两家的设备和服务都很好，但收费方式不同。甲家每张球台每小时5元，乙家按月计费，一个月中30小时（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分，每张球台每小时2元。某人准备下个月从这两家中的一家租一张球台，开展活动。其活动时间不少于15小时，也不超过40小时；设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f（x）元（15≤x≤40），在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g（x）元（15≤x≤40）。
（1）写出f（x）和g（x）的解析式。
（2）假设你和你的同伴想去该人处进行乒乓球训练，按时间算，你们该怎样选择，费用比较低？
提示：①利用f（x）=g（x）解方程得出x；
②在同一坐标系中利用函数图象相交，直接观察、分析、概括。

[达标检测]
1．电信局为了满足客户不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示，（其中N//CD）

（1）分别求出方案A、B应付话费（元）与通话时间X（分钟）的函数表达式f（x）和g（x）。
（2）假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A、B两种优惠方案？并说明理由。

2．Ａ、Ｂ两城相距１００km，在两地之间距Ａ城xkm处Ｄ建一核电站给Ａ、Ｂ两城供电，为得让城市安全，核电站距城市距离不得少于１０km。已知供电费用与供电距离得平方和和供电量之积成正比，比例系数x＝０.２５。若Ａ城供电量为２０亿度／月，Ｂ城为１０亿度／月，把月供电总费用y表示成x的函数，并求出定义域，并回答，应将电站建在何处，月供电总费用最低？

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