§1.2.2函数的表示法（二）——映射的概念
一、内容与解析
（一）内容：映射
（二）解析：⑴映射是两个集合 与 中，元素之间存在的某种对应关系.说其是一种特殊的对应，就是因为它只允许存在“一对一”与“多对一”这两种对应，而不允许存在“一对多”的对应.
⑵映射中只允许“一对一”与“多对一”这两种对应的特点，从 到 的映射 : → 实际是要求集合 中的任一元素都必须对应于集合 中唯一的元素.但对集合 中的元素并无任何要求，即允许集合 中的元素在集合 中可能有一个元素与之对应，可能有两个或多个元素与之对应，也可能没有元素与之对应.
⑶映射中对应法则 是有方向的，一般说从集合 到集合 的映射与从集合 到集合 的映射是不同的.
(4)我们可以把对应关系看成一面镜子，集合 中的元素在这面镜子中存在一个像，一个相对应的元素，原像则是集合 中的元素.这样像和原像的概念就比较容易理解.并且映射中集合 的每一个元素在集合 中都有它的像，通过对应关系——即通过镜子总存在像，而且像是唯一的，不会“照”出许多的像，这是映射区别于一般对应的本质特征.
二、目标及其解析：
（一）目标
（1）了解映射的概念及表示方法；结合简单的对应图示，了解一一映射的概念．
（2）解析：重点把握映射与函数的区别。
三、问题诊断分析
函数与映射的区别与联系
(1)函数包括三要素:定义域、值域、两者之间的对应关系;映射包括三要素: 集合A, 集合B, 以及A,B之间的对应关系
(2)函数定义中的两个集合为非空数集; 映射中两个集合中的元素为任意元素,如人、物、命题等都可以.
(3)在函数中,对定义域中的每一个 ,在值域中都有唯一确定的函数值和它对应;在映射中,对集合A中的任意元素 ,在集合B中都有唯一确定的像 和它对应.
(4)在函数中,对值域中的每一个确定的函数值,在定义域中都有确定的自变量的值和它对应;在映射中,对于集合B中的任一元素 ,在集合A中不一定有原像.
(5)函数实际上就是非空数集A到非空数集B的一
个映射
(6)通过右图我们可以清晰的看到这三者的关系.

四、支持条分析
在本节一次递推的教学中，准备使用PowerPoint 2003。因为使用PowerPoint 2003，有利于提供准确、最核心的字信息，有利于帮助学生顺利抓住老师上思路，节省老师板书时间，让学生尽快地进入对问题的分析当中。
五、教学过程
1. 教学映射概念：
① 先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意
, ，对应法则：开平方；
， ，对应法则：平方；
, , 对应法则：求正弦；
② 定义映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应 为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“ ”
关键: A中任意，B中唯一；对应法则f.
③ 分析上面的例子是否映射？举例日常生活中的映射实例？
④ 讨论：映射的一些对应情况？（一对一；多对一） 一对多是映射吗？
→ 举例一一映射的实例 （一对一）
2.教学例题：
① 出示例1. 探究从集合A到集合B一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？
A={P P是数轴上的点}，B=R； A={三角形}，B={圆}；
A={ P P是平面直角体系中的点}， ； A={高一某班学生}，B= ？
（ 师生探究从A到B对应关系 → 辨别是否映射？一一映射？ → 小结：A中任意，B中唯一）
② 讨论：如果是从B到A呢？
③ 练习：判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？
A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则 ；
，对应法则 ；
， ， ；
设 ；
，
六、 类型题探究
题型一 映射的判断
例1 下列集合 到集合 的对应中，判断哪些是 到 的映射? 判断哪些是 到 的一一映射?
(1) ，对应法则 ．
(2) ， ， ， ， ．
(3) ， ，对应法则 除以2得的余数．
(4) ， ， 对应法则
．
【思维导图】

【解答关键】根据给出的f分析这个对应是否为“一对一”与“多对一”；若是则为映射，否则不是，再观察是不是一对一的对应，若是则为一一映射.
【规范解答】 (1)是映射，不是一一映射，因为集合 中有些元素(正整数)没有原像．
(2)是映射，是一一映射．不同的正实数有不同的唯一的倒数仍是正实数，任何一个正数都存在倒数．
(3)是映射，因为集合 中不同元素对应集合 中相同的元素．
(4)是映射，不是一一映射，因为集合 中的元素(如-4，4)都对应集合 中的元素(2)．
【易错辨析】判断一个对应是不是映射或一一映射，应观察对应的特点；说明一个对应不是映射或一一映射，只须找出一个反例．对于一一映射是一种特殊的映射，它的判断主要考虑：若⑴A中的不同元素在B中有不同的像；⑵B中任何一个元素在A中都有原像，则这个映射就是一 一映射.
【活学活用】1.下列集合 到集合 的对应 是映射的是（ ）
A. ： 中的数平方；
B. ： 中的数求平方根；
C. ： 中的数取倒数；
D. ： 中的数取绝对值；
1．A. 解析：B中错误在集合A中的元素1在集合B中有两个元素-1，1与之对应，因此不是映射.C，D中错误都在于集合中有0这个元素在集合B中没有相对应的元素.
题型二 映射对应法则的应用
例2已知A={1， 2，3， }，B={4，7, , },其中 N+.若x A,y B,有对应关系 ： 是从集合A到集合B的一个映射，且 =4, =7,试求 的值.

【解答关键】先通过已知条求得 ，再通过分析映射的两个集合中元素之间的关系，得出m、n之间的方程，解得相应的参数值.
【规范解答】由 =4, =7,列方程组： 故对应法则为： .
由此判断A中元素3的像是 或 . 若 =10，因 N+不可能成立,所以 =10,解得 =2或n= -5(舍去).
又当集合A中的元素 的像是 时,即 =16, 解得 =5.
当集合A中的元素 的像是 时, 即 =10, 解得 =3.由元素唯一性知, =3舍去.
故 =3,q=1, =5, =3或 =3,q=1, =5, =2.
【归纳总结】通过该题，加深对映射的理解，加深对映射中对应法则的理解和应用.解好此题的关键是分清原象和象各是谁，对应法则是什么，对应法则是如何把象与原象联系在一起的.映射是一种特殊的对应，函数是一种特殊的映射.
【活学活用】2.设f : A→B是A到B的一个映射，其中A=B={（x，y）x，y∈R}，f :（x，y）→（x－y，x+y），求A中元素（－1，2）的象和B中元素（－1，2）的原象.
2．这是一个映射的问题，由已知（x，y）的象为（x－y，x+y），确定了对应法则.
先求A中元素（－1，2）的象.令x=－1，y=2，
由题意得x－y=－1－2=－3，x+y=－1+2=1，所以（－1，2）的象为（－3，1）;
再求B中元素（－1，2）的原象.令 解得
所以（－1，2）的原象是（ ， ）.
题型三 利用映射研究函数问题
例 3设A={x?0≤x≤2}，B={y?1≤y≤2}，图中表示A到B的函数是 （ ）

【解答关键】本题已知两个集合为数集，再根据图像观察是否为映射，便可得出是否为函数.
【规范解答】首先C图中，A中同一个元素x（除x=2)与B中两个元素对应，它不是映射，当然更不是函数；其次，A、B两图中，A所对应的“象”的集合均为{y?0≤y≤2}，而{y?0≤y≤2} B={y?1≤y≤2}，故它们均不能构成 的函数．从而答案选D．
【易混辨析】本题根据映射观点下的函数定义直接求解．考察函数图像与映射之间的关系，此类问题回到定义中去，牢牢掌握映射的概念，就很容易解决，而关于映射知识点的考察，一般也是对其概念进行考察.函数首先必须是映射，是当集合A与B均为非空数集时的映射．因此，判断一个对应是否能构成函数，应判断：①集合A与B是否为非空数集；②f：A→B能否为一个映射．另外，函数f：A→B中，象的集合叫函数的值域，且B．
【活学活用】3.图中表示的是从集合 到集合 的对应，其中能构成映射的是 ( )

3.A 解析： 到 的一个对应能否构成 到 的映射的关键是：集合 中的任一元素都必须满足对应于集合 中唯一的元素. 因此，图象中必须满足对于 的每一个值， 必须有且只有唯一的值与之对应.不难得知应选A.
(二）小结
七、 目标检测
一、选择题
1.设 是集合A到B的映射，下列说法正确的是（ ）
A、A中每一个元素在B中必有像 B、B中每一个元素在A中必有原像
C、B中每一个元素在A中的原像是唯一的 D、B是A中所在元素的像的集合
1.A解析：是对映射概念的判断，对于答案B，D集合B中的元素在集合A中不一定有原像，因此也不是集合A中所在元素的像的集合.答案C自然也错.
2.下列各对应关系中,是从A到B的映射的有( )

A、（2）（3） B、（1）（4） C、（2）（4） D、（1）（3）
2. D解析：（1）（3）这两个图所表示的对应都符合映射的定义，对于（2）中的元素 都对应着两个元素，（4）中的元素 没有元素与之对应.
3.点 在映射 下的对应元素为 ，则点 在 作用下的对应元素为( )
A. B. C. D.
3.C 解析： ， .
4. 已知映射f：A→B，其中集合A={-3，-2，-1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的像，且对任意a∈A，在B中和它们对应的元素是a，则集合B中元素的个数是 （ ）
A． 4 B．5 C．6 D．7
4. A解析：依题意，由A→B的对应法则为f：a→a．于是，将集合A中的7个不同元素分别取绝对值后依次得3，2，1，1，2，3，4．由集合元素的互异性可知，B={1，2，3，4}，它有4个元素，答案选A．
二、填空题
5.已知集合A={x?0≤x≤4}，B={y?0≤y≤2}，下列从A到B的对应f：①f：x→y=
②f：x→y= ③f：x→y= ④f：x→y=
（1）其中不是映射的是 ； （2）其中是一一映射的是 ．
5．（1）③，（2）①④ 解析：. ③中当x=4时在集合B中找不到对应的像.②中集合B中的像x=2找不到对应的原像.
6.已知集合A=Z,B={xx=2n＋1,n Z},C=R,且从A到B的映射是x→2x-1,从B到C的映射是x→ ,则从A到C的映射是____.
6.x→ 解析：A到C的映射为x→ .
7.若映射f：A→B的像的集合是Y，原像的集合是X，则X与A的关系是_ _____，Y和B的关系是__ ___.
7. A=X Y B 解析：是对映射概念的判断，显然X与A的关系是相等，因为B中每一个元素在A中不一定有原像，所以Y和B的关系是Y B.
三、解答题
8.已知 ， ，且从 到 的映射满足 ，试确定这样的映射 的个数.
8.因为从 到 的映射满足 ，所以
⑴当 时，有 或 或
⑵当 时，有
综上，从 到 的映射中满足 的映射 的个数是4个.
9.已知映射f：A→B中，A=B={(x，y)?x∈R，y∈R }，f：(x，y) →(x+2y+2，4x+y)．
（1）求A中元素（5，5）的像；
（2）求B中元素（5，5）的原像；
（3）是否存在这样的元素(a，b)，使它的像仍是自己？若有，求出这个元素．
9.（1）由题意有A中元素（5，5）的像为
（2）B中元素（5，5）的原像满足x+2y+2=5，4x+y=5，解得 .
所以B中元素（5，5）的原像为(1，1)；
（3）假设存在这样的元素(a，b)，使它的像仍是自己
它满足方程组x = x+2y+2，y = 4x+y．解得 ，此元素为（0，-1）．
高考能力演练
10. 设A={(x，y)?x∈R，y∈R }．如果由A到A的一一映射，使像集合中的元素(y-1，x+2)和原像集合中的元素(x，y)对应，那么像(3，-4)的原像是（ ）
A．（-5，5） B．（4，-6） C．（2，-2） D．（-6，4）
10.D解析：由像与原像的概念可知，本题中的对应法则是f：(x，y)→(y-1，x+2)，问题即：当点(y-1，x+2)是（3，-4）时，对应的x，y的值分别是多少？于是由
，即像（-3，4）的原像是（-6，4），选D．
11.已知集合 ， ，其中 ， .若 ， ，映射 : → 使 中元素 和 中元素 对应.求 和 的值.
11.∵ 中元素 对应 中元素 ，
∴ 中元素的象是 ， 的象是 ， 的象是 .∴ ，或 .
又 ，∴ ，解之，得 .
∵ 的象是 ，∴ ，解之，得 .
12. 现代社会对破译密的难度要求越越高，有一种密码把英的明（真实）按两个字母一组分组（如果最后剩一个字母，则任意添一个字母，拼成一组），例如：
Wish y.u success，分组为Wi，sh，y.，us，uc，ce，ss得到
, , , , , , ,
其中英的a，b，c，…，z的26个字母（不论大小写）依次对应的1，2，3，…，26这26个自然数，见表格：
abcdefghijklm
12345678910111213
n.pqrstuvwxyz
14151617181920212223242526
给出如下一个变换公式 将明转换为密.如
→ → ，即ce变成mc（说明：29÷26余数为3）.
又如 → → ，即wi变成.a（说明：41÷26余数为15，105÷26余数为1）.
（1）按上述方法将明star译成密；
（2）若按上述方法将某明译成的密是kcwi，请你找出它的明.
12.（1）将star分组：st，ar，对应的数组分别为 ，
由 得 → ， → .
∴star翻译成密为ggk
（2）由 得
将kcwi分组：kc，wi，对应的数组分别为 ， ,由 得 → → ， → .
∴密kcwi翻译成明为g..d.

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