1.若函数f(x)是奇函数,且有三个零点x1、x2、x3,则x1+x2+x3的值为( )
A.-1 B.0
C.3D.不确定
[答案] B
[解析] 因为f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,它有三个零点,即f(x)的图象与x轴有三个交点,故必有一个为原点另两个横坐标互为相反数.
∴x1+x2+x3=0.
2.已知f(x)=-x-x3,x∈[a,b],且f(a)?f(b)<0,则f(x)=0在[a,b]内( )
A.至少有一实数根B.至多有一实数根
C.没有实数根D.有惟一实数根
[答案] D
[解析] ∵f(x)为单调减函数,
x∈[a,b]且f(a)?f(b)<0,
∴f(x)在[a,b]内有惟一实根x=0.
3.(09?天津理)设函数f(x)=13x-lnx(x>0)则y=f(x)( )
A.在区间1e,1,(1,e)内均有零点
B.在区间1e,1,(1,e)内均无零点
C.在区间1e,1内有零点;在区间(1,e)内无零点
D.在区间1e,1内无零点,在区间(1,e)内有零点
[答案] D
[解析] ∵f(x)=13x-lnx(x>0),
∴f(e)=13e-1<0,
f(1)=13>0,f(1e)=13e+1>0,
∴f(x)在(1,e)内有零点,在(1e,1)内无零点.故选D.
4.(2010?天津文,4)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是( )
A.(-2,-1)B.(-1,0)
C.(0,1)D.(1,2)
[答案] C
[解析] ∵f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,
即f(0)f(1)<0,
∴由零点定理知,该函数零点在区间(0,1)内.
5.若方程x2-3x+mx+m=0的两根均在(0,+∞)内,则m的取值范围是( )
A.m≤1B.0
[解析] 设方程x2+(m-3)x+m=0的两根为x1,x2,则有Δ=(m-3)2-4m≥0,且x1+x2=3-m>0,x1?x2=m>0,解得0
A.0个B.1个
C.2个D.3个
[答案] A
[解析] 令f(x)=0得,(x-1)ln(x-2)x-3=0,
∴x-1=0或ln(x-2)=0,∴x=1或x=3,
∵x=1时,ln(x-2)无意义,
x=3时,分母为零,
∴1和3都不是f(x)的零点,∴f(x)无零点,故选A.
7.函数y=3x-1x2的一个零点是( )
A.-1B.1
C.(-1,0)D.(1,0)
[答案] B
[点评] 要准确掌握概念,“零点”是一个数,不是一个点.
8.函数f(x)=ax2+bx+c,若f(1)>0,f(2)<0,则f(x)在(1,2)上零点的个数为( )
A.至多有一个B.有一个或两个
C.有且仅有一个D.一个也没有
[答案] C
[解析] 若a=0,则b≠0,此时f(x)=bx+c为单调函数,
∵f(1)>0,f(2)<0,∴f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点;
若a≠0,则f(x)为开口向上或向下的抛物线,若在(1,2)上有两个零点或无零点,则必有f(1)?f(2)>0,
∵f(1)>0,f(2)<0,∴在(1,2)上有且仅有一个零点,故选C.
9.(哈师大附中2009~2010高一期末)函数f(x)=2x-log12x的零点所在的区间为( )
A.0,14B.14,12
C.12,1D.(1,2)
[答案] B
[解析] ∵f14=214-log1214=42-2<0,f12=2-1>0,f(x)在x>0时连续,∴选B.
10.根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为( )
x-10123
ex0.3712.727.3920.09
A.(-1,0)B.(0,1)
C.(1,2)D.(2,3)
[答案] C
[解析] 令f(x)=ex-x-2,则f(1)?f(2)=(e-3)(e2-4)<0,故选C.
二、题
11.方程2x=x3精确到0.1的一个近似解是________.
[答案] 1.4
12.方程ex-x-2=0在实数范围内的解有________个.
[答案] 2
三、解答题
13.借助计算器或计算机,用二分法求方程2x-x2=0在区间(-1,0)内的实数解(精确到0.01).
[解析] 令f(x)=2x-x2,∵f(-1)=2-1-(-1)2=-12<0,f(0)=1>0,
说明方程f(x)=0在区间(-1,0)内有一个零点.
取区间(-1,0)的中点x1=-0.5,用计算器可算得f(-0.5)≈0.46>0.因为f(-1)?f(-0.5)<0,所以x0∈(-1,-0.5).
再取(-1,-0.5)的中点x2=-0.75,用计算器可算得f(-0.75)≈-0.03>0.因为f(-1)?f(-0.75)<0,所以x0∈(-1,-0.75).
同理,可得x0∈(-0.875,-0.75),x0∈(-0.8125,-0.75),x0∈(-0.78125,-0.75),x0∈(-0.78125,-0.765625),x0∈(-0.7734375,-0.765625).
由于(-0.765625)-(0.7734375)<0.01,此时区间(-0.7734375,-0.765625)的两个端点精确到0.01的近似值都是-0.77,所以方程2x-x2=0精确到0.01的近似解约为-0.77.
14.证明方程(x-2)(x-5)=1有两个相异实根,且一个大于5,一个小于2.
[解析] 令f(x)=(x-2)(x-5)-1
∵f(2)=f(5)=-1<0,且f(0)=9>0.
f(6)=3>0.
∴f(x)在(0,2)和(5,6)内都有零点,又f(x)为二次函数,故f(x)有两个相异实根,且一个大于5、一个小于2.
15.求函数y=x3-2x2-x+2的零点,并画出它的简图.
[解析] 因为x3-2x2-x+2=x2(x-2)-(x-2)
=(x-2)(x2-1)=(x-2)(x-1)(x+1),
所以函数的零点为-1,1,2.
3个零点把x轴分成4个区间:
(-∞,-1],[-1,1],[1,2],[2,+∞].
在这4个区间内,取x的一些值(包括零点),列出这个函数的对应值(取精确到0.01的近似值)表:
x…-1.5-1-0.500.511.522.5…
y…-4.3801.8821.130-0.6302.63…
在直角坐标系内描点连线,这个函数的图象如图所示.
16.借助计算器或计算机用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在区间(-1,0)内的近似解.(精确到0.1)
[解析] 原方程为x3-4x2+x+5=0,令f(x)=x3-4x2+x+5.∵f(-1)=-1,f(0)=5,f(-1)?f(0)<0,∴函数f(x)在(-1,0)内有零点x0.
取(-1,0)作为计算的初始区间用二分法逐步计算,列表如下
端点或中点横坐标端点或中点的函数值定区间
a0=-1,b0=0f(-1)=-1,f(0)=5[-1,0]
x0=-1+02=-0.5
f(x0)=3.375>0[-1,-0.5]
x1=-1+(-0.5)2=-0.75f(x1)≈1.578>0[-1,-0.75]
x2=-1+(-0.75)2=-0.875f(x2)≈0.393>0[-1,-0.875]
x3=-1-0.8752=-0.9375f(x3)≈-0.277<0[-0.9375,-0.875]
∵-0.875-(-0.9375)=0.0625<0.1,
∴原方程在(-1,0)内精确到0.1的近似解为-0.9.
17.若函数f(x)=log3(ax2-x+a)有零点,求a的取值范围.
[解析] ∵f(x)=log3(ax2-x+a)有零点,
∴log3(ax2-x+a)=0有解.∴ax2-x+a=1有解.
当a=0时,x=-1.
当a≠0时,若ax2-x+a-1=0有解,
则Δ=1-4a(a-1)≥0,即4a2-4a-1≤0,
解得1-22≤a≤1+22且a≠0.
综上所述,1-22≤a≤1+22.
18.判断方程x3-x-1=0在区间[1,1.5]内有无实数解;如果有,求出一个近似解(精确到0.1).
[解析] 设函数f(x)=x3-x-1,因为f(1)=-1<0,f(1.5)=0.875>0,且函数f(x)=x3-x-1的图象是连续的曲线,所以方程x3-x-1=0在区间[1,1.5]内有实数解.
取区间(1,1.5)的中点x1=1.25,用计算器可算得f(1.25)=-0.30<0.因为f(1.25)?f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5).
再取(1.25,1.5)的中点x2=1.375,用计算器可算得f(1.375)≈0.22>0.因为f(1.25)?f(1.375)<0,所以x0∈(1.25,1.375).
同理,可得x0∈(1.3125,1.375),x0∈(1.3125,1.34375).
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