第三章《指数函数和对数函数》章末检测
(时间90分钟,满分120分)
一、(本大题共10个小题,每小题5分,共50分)
1.化简[3-52] 的结果为( )
A.5 B.5
C.-5 D.-5
解析:[3-52] =(352) =5 × =5 =5.
答案:B
2.若log513•log36•log6x=2,则x等于( )
A.9 B.19
C.25 D.125
解析:由换底公式,得lg 13lg 5•lg 6lg 3•lg xlg 6=2,
∴-lg xlg 5=2.
∴lg x=-2lg 5=lg 125.∴x=125.
答案:D
3.(2015•江西高考)若f(x)= ,则f(x)的定义域为( )
A.(-12,0) B.(-12,0]
C.(-12,+∞) D.(0,+∞)
解析:f(x)要有意义,需log (2x+1)>0,
即0<2x+1<1,解得-12<x<0.
答案:A
4.函数y=(a2-1)x在(-∞,+∞)上是减函数,则a的取值范围是( )
A.a>1 B.a>2
C.a>2 D .1<a<2
解析:由0<a2-1<1得1<a2<2,
∴1<a<2.
答案:D
5.函数y=ax-1的定义域是(-∞,0],则a的取值范围是( )
A.a>0 B.a>1
C.0<a<1 D.a≠1
解析:由ax-1≥0得ax≥1,又知此函数的定义域为(-∞,0],即当x≤0时,ax≥1恒成立,∴0<a<1.
答案:C
6.函数y=x12xx的图像的大致 形状是( )
解析:原函数式化为y=12x,x>0,-12x,x<0.
答案:D
7.函数y=3x-1-2, x≤1,13x-1-2, x>1的值域是( )
A.(-2,-1) B.(-2,+∞)
C.(-∞,-1] D.(-2,-1]
解析:当x≤1时,0<3x-1≤31-1=1,
∴-2<3x-1-2≤-1.
当x>1时,(13)x<(13)1,∴0<(13)x-1<(13)0=1,
则-2< (13)x-1-2 <1-2=-1.
答案:D
8.某工厂6年来生产甲种产品的情况是:前3年年产量的增大速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来生产甲种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图像为
( )
解析:由题意知前3年年产量增大速度越来越快, 可知在单位时间内,C的值增大的很快,从而可判定结果.
答案:A
9.设函数f(x)=log2x-1, x≥2,12x-1, x<2,若f(x0)>1,则x0的取值范围是( )
A.(-∞,0)∪(2,+∞) B.(0,2)
C.(-∞,-1)∪(3,+∞) D.(-1,3)
解析:当x0≥2时,∵f(x0)>1,
∴log2(x0-1)>1,即x0>3;当 x0<2时,由f(x0)>1得(12)x0-1>1,(12)x0>(12)-1,
∴x0<-1.
∴x0∈(-∞,-1)∪(3,+∞).
答案:C
10.函数f(x)=loga(bx)的图像如图,其中a,b为常数.下列结论正确的是 ( )
A.0<a<1,b>1
B.a>1,0<b<1
C.a>1,b>1
D.0<a<1,0<b<1
解析:由于函数单调递增,∴a>1,
又f(1)>0,即logab>0=loga1,∴b>1.
答案:C
二、题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
11.若函数y=13x x∈[-1,0],3x x∈0,1],则f(log3 )=________.
解析:∵-1=log3 <log3 <log31=0,
∴f(log3 )=(13)log3 =3-log3 =3log32=2.
答案:2
12.化简: • =________.
解析:原式= •
= •
=a •a =a.[
答案:a
13.若函数y=2x+1,y=b,y=-2x-1三图像无公共点,结合图像求b的取值范围为________.
解析:如图.
当-1≤b≤1时,此三函数的图像无公共点.
答案:[-1,1]
14.已知f(x)=log3x的值域是[-1,1],那么它的反函数的值域为________.
解析:∵-1≤log3x≤1,
∴log313≤log3x≤log33,∴13≤x ≤3.
∴f(x)=log3x的定义域是[13,3],
∴f(x)=log3x的反函数的值域是[13,3].
答案:[13,3]
三、解答题(本大题共4个小题,共50分)
15.(12分)设函数y=2x+1-x-1.
(1)讨论y=f(x)的单调性, 作出其图像;
(2)求f(x)≥22的解集.
解:(1)y=22, x≥1,22x, -1≤x<1,2-2, x<-1.
当x≥1或x<-1时,y=f(x)是常数函数不具有单调性,
当-1≤x<1时,y=4x单调递增,
故y=f(x)的单调递增区间为[-1,1),其图像如图.
(2)当 x≥1时,y=4≥22成立,
当-1≤x<1时,由y=22x≥22=2×2 =2 ,
得2x≥32,x≥34,∴34≤x<1,
当x<-1时,y=2-2=14<22不成立,
综上,f(x)≥22的解集为[34,+∞).
16.(12分)设a>1,若对于任意的x∈[a,2a ],都有y∈[a,a2]满足方程logax+logay=3,求a的取值范围.
解:∵logax+logay=3,∴logaxy=3.
∴xy=a3.∴y=a3x.
∴函数y=a3x(a>1)为减函数,
又当x=a时,y=a2,当x=2a时,y=a32a=a22 ,
∴a22,a2⊆[a,a2].∴a22≥a.
又a>1,∴a≥2.∴a的取值范围为a≥2.
17.(12分)若-3≤log12x≤-12,求f(x)=(log2x2)•(log2x4)的最大值和最小 值.
解:f(x)=(log2x-1)(log2x-2)
=(log2x)2-3log2x+2=(log2x-32)2-14.
又∵-3≤log x≤-12,∴12≤log2x≤3.
∴当log2x=32时,f(x)in=f(22)=-14;
当log2x=3时,f(x)ax=f(8)=2.
18.(14分)已知函数f(x)=2x-12x+1,
(1)证明函数f(x)是R上的增函数;
(2)求函数f(x)的值域;
(3)令g(x)=xfx,判定函数g(x)的奇偶性,并证明.
解:(1)证明:设x1,x2是R内任意两个值,且x1<x2,则x2-x1>0,y2-y1=f(x2)-f(x1)=2x2-12x2+1-2x1-12x1+1 =2•2x2-2•2x12x1+12x2+1=22x2-2x12x1+12x2+1,
当x1<x2时,2x1<2x2,∴2x2-2x1>0.
又2x1+1>0,2x2+1>0,∴y2-y1>0,
∴f(x)是R上的增函数;
(2)f(x)=2x+1-22x+1=1-22x+1,
∵2x+1>1,∴0<22x+1<2,
即-2<-22x+1<0,∴-1<1-22x+1<1.
∴f(x)的值域为(-1,1);
(3)由题意知g(x)=xfx=2x+12x-1•x,
易知函数g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
g(-x)=(-x)•2-x+12-x-1=(-x)•1+2x1-2x=x•2x+12x-1=g(x),
∴函数g(x)为偶函数.
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