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第二节 指数的扩充及其运算性质
一、(每小题5分,共20分)
1.设y1=40.9,y2=80.48,y3=(12)-1.5,则( )
A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2
【解析】 y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3=(12)-1.5=21.5,
∵y=2x在定义域内为增函数,且1.8>1.5>1.44,
∴y1>y3>y2.
【答案】D
2.若142a+1<143-2a,则实数a的取值范围是( )
A.12,+∞ B.1,+∞ C.(-∞,1) D.-∞,12
【解析】 函数y=14x在R上为减函数,
∴2a+1>3-2a,∴a>12.故选A.
【答案】 A
3.设函数f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线x=1对称,且当x≥1时,f(x)=3x-1,则有( )
A.f(13)<f(32)<f(23) B.f(23)<f(32)<f(13)
C.f(23)<f(13)<f(32) D.f(32)<f(23)<f(13)
【解析】 因为f(x)的图象关于直线x=1对称,
所以f(13)=f(53),f(23)=f(43),
因为函数f(x)=3x-1在[1,+∞)上是增函数,
所以f(53)>f(32)>f(43),即f(23)<f(32)<f(13).故选B.
【答案】 B
4.如果函数f(x)=(1-2a)x在实数集R上是减函数,那么实数a的取值范围是( )
A.(0,12) B.(12,+∞) C.(-∞,12) D.(-12,12)
【解析】 根据指数函数的概念及性质求解.
由已知得,实数a应满足1-2a>01-2a<1,解得a <12a>0,
即a∈(0,12).故选A.
【答案】 A
二、题(每小题5分,共10分)
5.设a>0,f(x)=exa+aex(e>1),是R上的偶函数,则a=________.
【解析】 依题意,对一切x∈R,都有f(x)=f(-x),
∴exa+aex=1aex+aex,
∴(a-1a)(ex-1ex)=0.
∴a-1a=0,即a2=1.
又a >0,∴a=1.
【答案】 1
6.下列空格中填“>、<或=”.
(1)1.52.5________1.53.2,(2) 0.5-1.2________0.5-1.5.
【解析】 (1)考察指数函数y=1.5x.
因为1.5>1,所以y=1.5x在R上是 单调增函数.
又因为2.5<3.2,所以1.52.5<1.53.2.
(2)考察指数函数y=0.5x.
因为0<0.5<1,所以y=0.5x在R上是单调减函数.
又因为-1.2>-1.5,所以0.5-1.2<0.5-1.5.
【答案】 <,<
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.根据下列条件确定实数x的取值范围:a<1a1-2x(a>0且a≠1).
【解析】 原不等式可以化为a2x -1>a12,因为函数y=ax(a>0且a≠1)当底数a大于1时在R上是增函数;当底数a大于0小于1时在R上是减函数,
所以当a>1时,由2x-1>12,解得x>34;
当0<a<1时,由2x-1<12, 解得x<34.
综上可知:当a>1时,x>34;当0<a<1时,x<34.
8.已知a>0且a≠1,讨论f(x)=a-x2+3x+2的单调性.
【解析】 设u=-x2+3x+2=-x-322+174,
则当x≥32时,u是减函数,当x≤32时,u是增函数.
又当a>1时,y=au是增函数,当0<a<1时,y=au是减函数,
所以当a>1时,原函数f(x)=a-x2+3x+2在32,+∞上是减函数,在-∞,32上是增函数.
当0<a<1时,原函数f(x)=a-x 2+3x+2在32,+∞上是增函数,在 -∞,32上是减函数.
9.(10分)已知函数f(x)=3x+3-x.
(1)判断函数的奇偶性;
(2)求函数的单调增区间,并证明.
【解析】 (1)f(-x)=3-x+3- (-x)=3-x+3x=f(x)且x∈R,
∴函数f(x)=3x+3-x是偶函数.
(2)由(1)知,函数的单调区间为(-∞,0]及[0,+∞),且[0,+∞)是单调增区间.
现证明如下:
设0≤x1<x2,则f(x1)-f(x2)=3x1+3-x1-3x2-2-x2
=3x1-3x2+13 x1-13x2=3x1-3x2+3x2-3x13x13x2
=(3x2-3x1)•1-3x1+x23x1+x2.
∵0≤x1<x2,∴3x2>3x1,3x1+x2>1,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
∴函数在[0,+∞)上单调递增,
即函数的单调增区间为[0,+∞). 来
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