重难点:领会函数单调性的实质,明确单调性是一个局部概念,并能利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性,领会函数最值的实质,明确它是一个整体概念,学会利用函数的单调性求最值;函数奇偶性概念及函数奇偶性的判定;函数奇偶性与单调性的综合应用和抽象函数的奇偶性、单调性的理解和应用;了解映射概念的理解并能区别函数和映射.
考纲要求:①理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数,了解函数奇偶性的含义;并了解映射的概念;
②会运用函数图像理解和研究函数的性质.
经典例题:定义在区间(-∞,+∞)上的奇函数f(x)为增函数,偶函数g(x)在[0,+∞ )上图象与f(x)的图象重合.设a>b>0,给出下列不等式,其中成立的是
f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)
③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a) ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a)
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
当堂练习:
1.已知函数f(x)=2x2-mx+3,当时是增函数,当时是减函数,则f(1)等于 ( )
A.-3 B.13 C.7 D.含有m的变量
2.函数是( )
A. 非奇非偶函数 B.既不是奇函数,又不是偶函数奇函数 C. 偶函数 D. 奇函数
3.已知函数(1), (2),(3)
(4),其中是偶函数的有( )个
A.1 B.2 C.3 D.4
4.奇函数y=f(x)(x≠0),当x∈(0,+∞)时,f(x)=x-1,则函数f(x-1)的图象为 ( )
5.已知映射f:AB,其中集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象,且对任意的,在B中和它对应的元素是,则集合B中元素的个数是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
6.函数在区间[0, 1]上的最大值g(t)是 .
7. 已知函数f(x)在区间上是减函数,则与的大小关系是 .
8.已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x<0时, f(x)是增函数,若x1<0,x2>0,且,则和的大小关系是 .
9.如果函数y=f(x+1)是偶函数,那么函数y=f(x)的图象关于_________对称.
10.点(x,y)在映射f作用下的对应点是,若点A在f作用下的对应点是B(2,0),则点A坐标是 .
13. 已知函数,其中,(1)试判断它的单调性;(2)试求它的最小值.
14.已知函数,常数。
(1)设,证明:函数在上单调递增;
(2)设且的定义域和值域都是,求的最大值.
13.(1)设f(x)的定义域为R的函数,求证: 是偶函数;
是奇函数.
(2)利用上述结论,你能把函数表示成一个偶函数与一个奇函数之和的形式.
14. 在集合R上的映射:,.
(1)试求映射的解析式;
(2)分别求函数f1(x)和f2(z)的单调区间;
(3) 求函数f(x)的单调区间.
参考答案:
经典例题:
解析:本题可采用三种解法.
方法一:直接根据奇、偶函数的定义.
由f(x)是奇函数得f(-a)=-f(a),f(-b)=-f(b),g(a)=f(a),g(b)=f(b),g(-a)=g(a),g(-b)=g(b).
∴以上四个不等式分别可简化为①f(b)>0;②f(b)<0;③f(a)>0;④f(a)<0.
又∵f(x)是奇函数又是增函数,且a>b>0,故f(a)>f(b)>f(0)=0,从而以上不等式中①、③成立.故选C.
方法二:结合函数图象.
由下图,分析得f(a)=g(a)=g(-a)=-f(-a),f(b)=g(b)=g(-b)=-f(-b).
从而根据所给结论,得到①与③是正确的.故选C.
方法三:利用间接法,即构造满足题意的两个函数模型f(x)=x,g(x)=|x|,取特殊值a、b.如a=2,b=1.可验证正确的是①与③,故选C.
答案:C
当堂练习:
B ; 2. D ; 3. B ;4. D ;5. A ; 6. ;7. ;
8. >;9. x=-1; 10. ();
11. 解: (1)函数,设时,
,所以在区间上单调递增;
(2)从而当x=1时,有最小值.
12. 解:(1)任取,,且,, 因为,
,,所以,即,故在上单调递增.
(2)因为在上单调递增,的定义域、值域都是,
即是方程的两个不等的正根有两个不等的正根.
所以,
∴,
∴时,取最大值.
13.解: (1)利用定义易证之; (2)由(1)得=.
14. 解: (1); (2)当时, f1(x)单调递减, 当时, f1(x)单调递增; 当时, f2(z) 单调递减, 当时, f1(x)单调递增.
(3) 当和时, f(x)分别单调递减;
当和分别单调递增.
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