数列怎么学都不会?估计都是这里出问题,踏踏实实学起来

编辑: 逍遥路 关键词: 高中数学 来源: 高中学习网


数列对于高考数学的重要性,相信不要吴老师多说,很多人心里都有数。无论是数列的基础知识、数列求和、通项公式、数列综合应用等等,都是高考数学重要的考查对象。

从历年高考数学题型来看,数列可以和函数、方程、不等式、三角等相关知识进行“串联”,形成更为复杂的综合性问题;或是结合实际生活例子,考查考生运用数列知识解决实际问题的能力。

高考数列试题这样安排的目的,体现高考作为选拔人才的功能,凸显对考生能力的考查。

不管哪一块知识内容,题型多复杂、解法多灵活、知识点怎么变化等等,万变不离其宗,彻底扎实掌握好基础知识内容,这一点是永远都不会变。

扎实的基础是我们准确解出题目的前提,要想提高数学能力、解题能力,就要把基础学好、巩固好。

因此,要想能全部解出数列相关高考问题,就要学好数列基础知识内容。今天我们就一起来简单分析数列基础知识内容,希望能帮助大家巩固好基础知识,为进一步提高数学成绩打下一个良好的开端。

首先,大家对数列的定义、通项公式、递推公式,要分的清清楚楚:

什么是数列?

数列是指按照一定顺序排列的一列数。

什么是数列的项?

数列的项是指数列中的每一个数。

什么是数列的通项公式?

如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

什么是数列的递推公式?

如果已知数列{an}的首项(或前几项),且任一项an与它的前一项an-1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫数列的递推公式。

典型例题分析1:

数列{an}中,已知a1=2,an+1=an+cn(n∈N*,常数c≠0),且a1,a2,a3成等比数列.

(1)求c的值;

(2)求数列{an}的通项公式.

解:(1)由题知,a1=2,a2=2+c,a3=2+3c,

因为a1,a2,a3成等比数列,所以(2+c)2=2(2+3c),

解得c=0或c=2,又c≠0,故c=2.

(2)当n≥2时,由an+1=an+cn得

a2-a1=c,

a3-a2=2c,

an-an-1=(n-1)c,

以上各式相加,得an-a1=[1+2+…+(n-1)]c=n(n-1)c/2,

又a1=2,c=2,故an=n2-n+2(n≥2),

当n=1时,上式也成立,

所以数列{an}的通项公式为an=n2-n+2(n∈N*).

要想学好数列基础知识内容,我们要学会从多角度去看待数列。如数列从本质上来看,我们可以把它看成是一种特殊的函数。因此,数列不仅有其本身的特殊性,更具有很多函数的性质。如数列最明显的函数特征:数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的特殊函数,数列的通项公式也就是相应的函数解析式,即f(n)=an(n∈N*)。

要想对数列概念进行彻底理解,那么一定要从本质上去认识数列。数列是按一定“顺序”排列的一列数,一个数列不仅与构成它的“数”有关,而且还与这些“数”的排列顺序有关,这有别于集合中元素的无序性。因此,若组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的两个数列。

数列中的数可以重复出现,而集合中的元素不能重复出现,这也是数列与数集的区别。

典型例题分析2:

数列{an}的通项公式是an=n2-7n+6.

(1)这个数列的第4项是多少?

(2)150是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项?

(3)该数列从第几项开始各项都是正数?

解:(1)当n=4时,a4=42-4×7+6=-6.

(2)令an=150,即n2-7n+6=150,

解得n=16或n=-9(舍去),

即150是这个数列的第16项.

(3)令an=n2-7n+6>0,解得n>6或n<1(舍).

故从第7项起各项都是正数.

记住这“三步法”,假如已知数列{an}的前n项和Sn,求数列的通项公式,其求解过程分为三步:

1、先利用a1=S1求出a1;

2、用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式;

3、对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时an的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写。

典型例题分析3:

已知数列{an}的前n项和Sn=2n2+2n,数列{bn}的前n项和Tn=2-bn.求数列{an}与{bn}的通项公式.

解:∵当n≥2时,

an=Sn-Sn-1=(2n2+2n)-[2(n-1)2+2(n-1)]=4n,

当n=1时,a1=S1=4也适合,

∴{an}的通项公式是an=4n(n∈N*).

∵Tn=2-bn,

∴当n=1时,

b1=2-b1,b1=1.

当n≥2时,

bn=Tn-Tn-1=(2-bn)-(2-bn-1),

∴2bn=bn-1.

∴数列{bn}是公比为1/2,首项为1的等比数列.

∴bn=(1/2)n-1.

根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注意观察每一项的特点,观察出项与n之间的关系、规律,可使用添项、通分、分割等办法,转化为一些常见数列的通项公式来求。对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整。

根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的思想。

同时要学会对数列进行分类:

按照项数标准来分,可以分成有穷数列和无穷数列两种。

有穷数列是指项数有限;无穷数列是指项数无限。

按照项与项间的大小关系来分,可以分成递增数列、递减数列、常数列三种。

递增数列是指满足an+1>an的条件,其中n∈N*;

递减数列是指满足an+1<an的条件,其中n∈N*;

常数列是指满足an+1=an的条件,其中n∈N*。

如等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列,它们是研究数列性质的基础。

典型例题分析4:

已知数列{an}中,a1=1,且满足递推关系an+1=(2a2n+3an+m)/(an+1)(n∈N*).

(1)当m=1时,求数列{an}的通项公式an;

(2)当n∈N*时,数列{an}满足不等式an+1≥an恒成立,求m的取值范围.

解:(1)∵m=1,由an+1=(2a2n+3an+1)/(an+1)(n∈N*),

得an+1=(2an+1)(an+1)/(an+1)=2an+1,

∴an+1+1=2(an+1),

∴数列{an+1}是以2为首项,公比也是2的等比数列.

于是an+1=2·2n-1,

∴an=2n-1.

(2)∵an+1≥an,而a1=1,知an≥1,

∴(2a2n+3an+m)/(an+1)≥an,

即m≥-an2-2an,

依题意,有m≥-(an+1)2+1恒成立.

∵an≥1,

∴m≥-22+1=-3,即满足题意的m的取值范围是[-3,+∞).

最值是解决数列相关问题最常见的题型之一,数列中项的最值的求法:

根据数列与函数之间的对应关系,构造相应的函数an=f(n),利用求解函数最值的方法求解,但要注意自变量的取值。

求和也是数列当中非常重要的知识内容,前n项和最值的求法:

1、先求出数列的前n项和Sn,根据Sn的表达式求解最值;

2、根据数列的通项公式,若am≥0,且am+1<0,则Sm最大;若am≤0,且am+1>0,则Sm最小,这样便可直接利用各项的符号确定最值。

数列综合问题很多时候在高考数学中占据较多分数,此类题型最大的特点就是以数列相关知识内容为载体,与函数、不等式、数学归纳法、实际问题、解析几何、三角等知识相互结合,形成较为复杂的数列综合问题。

很多学生面对这些综合问题,就会产生退缩的心里,无法拿到相应的分数。其实数列类综合问题并不可怕,关键在于大家能否掌握好全部基础知识内容,同时学会运用这些基础知识去解决实际问题等等,不断提高数学综合能力。


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