高一数学下册知识点归纳

编辑: 逍遥路 关键词: 高中数学 来源: 高中学习网


【导语】人生要敢于理解挑战,经受得起挑战的人才能够领悟人生非凡的真谛,才能够实现自我无限的超越,才能够创造魅力永恒的价值。以下是逍遥右脑为你整理的《高一数学下册知识点归纳》,希望你不负时光,努力向前,加油!

  【一】

  如果直线a与平面α平行,那么直线a与平面α内的直线有哪些位置关系?

  平行或异面。

  若直线a与平面α平行,那么在平面α内与直线a平行的直线有多少条?这些直线的位置关系如何?

  答:无数条;平行。

  如果直线a与平面α平行,经过直线a的平面β与平面α相交于直线b,那么直线a、b的位置关系如何?为什么?

  平行;因为a∥α,所以a与α没有公共点,则a与b没有公共点,又a与b在同一平面β内,所以a与b平行。

  综上分析,在直线a与平面α平行的条件下我们可以得到什么结论?

  如果一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

  练习题:

  1.(质疑夯基)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”.)

  (1)若一条直线和平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.()

  (2)若直线a∥平面α,P∈α,则过点P且平行于直线a的直线有无数条.()

  (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.()

  (4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()

  答案:(1)×(2)×(3)×(4)√

  2.下列命题中正确的是()

  A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面β

  B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行

  C.平行于同一条直线的两个平面平行

  D.若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α

  解析:选项A中,a∥β或a⊂β,A不正确.

  选项B中,a与α内的直线平行或异面,B错.

  C中的两个平面平行或相交,C不正确.

  由线面平行的性质与判定,选项D正确.

  答案:D

  3.设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的()

  A.充分而不必要条件

  B.必要而不充分条件

  C.充分必要条件

  D.既不充分也不必要条件

  解析:由m⊂α,m∥β⇒?α∥β.

  但m⊂α,α∥β⇒m∥β,

  ∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.

  答案:B

  【二】

  (1)创设情境

  直线平面垂直的判定

  直线平面垂直的判定

  ①请同学们观察图片,说出旗杆与地面、高楼的侧棱与地面的位置有什么关系?

  ②请把自己的数学书打开直立在桌面上,观察书嵴与桌面的位置有什么关系?

  ③请将①中旗杆与地面的位置关系画出相应的几何图形。

  (2)观察归纳

  ①思考:一条直线与平面垂直时,这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系?

  ②多媒体演示:旗杆与它在地面上影子的位置变化。

  ③归纳出直线与平面垂直的定义及相关概念。

  定义:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作:l⊥α.

  直线平面垂直的判定

  直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足。

  用符号语言表示为:

  直线平面垂直的判定

  (3)辨析(完成下列练习):

  ①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线就与这个平面垂直。

  ②若a⊥α,b

  直线平面垂直的判定

  α,则a⊥b。

  在创设情境中,学生练习本上画图,教师针对学生出现的问题,如不直观、不标字母等加以强调,并指出这就叫直线与平面垂直,引出课题。

  在多媒体演示时,先展示动画1使学生感受到旗杆AB所在直线与过点B的直线都垂直。再展示动画2使学生明确旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直,进而引导学生归纳出直线与平面垂直的定义。

  直线平面垂直的判定

  在辨析问题中,解释“无数”与“任何”的不同,并说明线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质,线线垂直与线面垂直可以相互转化,给出常用命题:

  直线平面垂直的判定

  2.直线与平面垂直的判定定理的探究

  (1)设置问题情境

  提出问题:学校广场上树了一根新旗杆,现要检验它是否与地面垂直,你有什么好办法?

  (2)折纸试验

  如图,请同学们拿出准备好的一块(任意)三角形的纸片,我们一起来做一个实验:过△ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上,(BD、DC与桌面接触).观察并思考:

  直线平面垂直的判定

  ①折痕AD与桌面垂直吗?

  ②如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直?

  ③多媒体演示翻折过程。

  (3)归纳直线与平面垂直的判定定理

  ①思考:由折痕AD⊥BC,翻折之后垂直关系,即AD⊥CD,AD⊥BD发生变化吗?由此你能得到什么结论?

  ②归纳出直线与平面垂直的判定定理。

  定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。

  直线平面垂直的判定

  用符号语言表示为:

  直线平面垂直的判定

  在讨论实际问题时,学生同桌合作进行试验(将铁丝当旗杆,桌面当地面)后交流方案,如用直角三角板量一次,量两次等。教师不作点评,说明完成下面的折纸试验后就有结论。

  在折纸试验中,学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况,引导这两类学生进行交流,根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因。学生再次折纸,进而探究直线与平面垂直的条件,经过讨论交流,使学生发现只要保证折痕AD是BC边上的高,即AD⊥BC,翻折后折痕AD就与桌面垂直,再利用多媒体演示翻折过程,增强几何直观性。

  在归纳直线与平面垂直的判定定理时,先让学生叙述结论,不完善的地方教师引导、补充完整,并结合“两条相交直线确定一个平面”的事实,简要说明直线与平面垂直的判定定理。然后,学生试用图形语言表述,练习本上画图,可能出现垂足与两相交直线交点重合的情况(如图),教师加以说明,同时给出符号语言表述。

  直线平面垂直的判定

  在理解直线与平面垂直的判定定理时,强调“两条”、“相交”缺一不可,并结合前面“检验旗杆与地面垂直”问题再进行确认。指出要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直,这充分体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想。

  3.直线与平面垂直的判定定理的初步应用

  (1)尝试练习:

  求证:与三角形的两条边同时垂直的直线必与第三条边垂直。

  直线平面垂直的判定

  学生根据题意画图,将其转化为几何命题:不妨设

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  请三位同学板演,其余同学在练习本上完成,师生共同评析,明确运用线面垂直判定定理时的具体步骤,防止缺少条件,同时指出:这为证明“线线垂直”提供了一种方法。

  (2)尝试练习:如图,有一根旗杆AB高8m,它的顶端A挂有两条长10m的绳子,拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一条直线上)C、D。如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m,那么旗杆就和地面垂直.为什么?

  直线平面垂直的判定

  本题需要通过计算得到线线垂直。学生练习本上完成后,对照课本P69例1,完善自己的解题步骤。

  (3)尝试练习:如图,已知a∥b,a⊥α,求证:b⊥α。

  此题有一定难度,教师引导学生分析思路,可利用线面垂直的定义证,也可用判定定理证,提示辅助线的添法,学生练习本上完成,对照课本P69例2,完善自己的解题步骤。

  直线平面垂直的判定


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