2.2指数函数

编辑: 逍遥路 关键词: 高中数学 来源: 高中学习网


重难点:对分数指数幂的含义的理解,学会根式与分数指数幂的互化并掌握有理指数幂的运算性质;指数函数的性质的理解与应用,能将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较简单的函数的有关问题.

考纲要求:①了解指数函数模型的实际背景;

②理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;

③理解指数函数的概念,并理解指数函数的单调性与函数图像通过的特殊点;

④知道指数函数是一类重要的函数模型.

经典例题:求函数y=3的单调区间和值域.

 

 

 

当堂练习:

1.数的大小关系是(    )

A.       B.       C.       D.

2.要使代数式有意义,则x的取值范围是(    )

A.       B.       C.       D.一切实数

3.下列函数中,图象与函数y=4x的图象关于y轴对称的是(    )

A.y=-4x             B.y=4-x        C.y=-4-x          D.y=4x+4-x

4.把函数y=f(x)的图象向左、向下分别平移2个单位长度,得到函数的图象,则(    )

A.   B.   C.    D.

5.设函数,f(2)=4,则(    )

A.f(-2)>f(-1)    B.f(-1)>f(-2)      C.f(1)>f(2)       D.f(-2)>f(2)

6.计算.           .      

7.设,求        .

8.已知是奇函数,则=                .

9.函数的图象恒过定点                  .

10.若函数的图象不经过第二象限,则满足的条件是             .

11.先化简,再求值: (1),其中;

(2) ,其中.   

 

 

 

12.(1)已知x[-3,2],求f(x)=的最小值与最大值.

(2)已知函数在[0,2]上有最大值8,求正数a的值.

(3)已知函数在区间[-1,1]上的最大值是14,求a的值.

 

 

 

 

 

13.求下列函数的单调区间及值域:

(1) ;   (2);  (3)求函数的递增区间.

 

 

 

 

14.已知

(1)证明函数f(x)在上为增函数;(2)证明方程没有负数解.

 

 

参考答案:

 

经典例题:

解:由题意可知,函数y=3的定义域为实数R.设u=-x2+2x+3(x∈R),则f(u)=3u,

故原函数由u=-x2+2x+3与f(u)=3u复合而成.∵f(u)=3u在R上是增函数,而u=-x2+2x+3

=-(x-1)2+4在x∈(-∞,1)上是增函数,在[1,+∞]上是减函数.

∴y=f(x)在x∈(-∞,1)上是增函数,在[1,+∞]上是减函数.

又知u≤4,此时x=1,∴当x=1时,ymax=f(1)=81,而3>0,

∴函数y=f(x)的值域为(0,81)

当堂练习:

1.A ; 2. C ; 3. B ;4. A ;5. A ; 6. ;7. ;8. ;9. (1,0);10. ;

11.(1) 原式=

(2)原式=

12. (1)解:f(x)=, ∵x[-3,2], ∴.则当2-x=,即x=1时,f(x)有最小值;当2-x=8,即x=-3时,f(x)有最大值57.

(2)解:设,当[0,2]时,,

当0<a<1时,,矛盾;当a>1时,.综上所述,a=2. 

(3)原函数化为,当a>1时,因,得,从而,同理, 当0<a<1时,.

13. (1)由得时单调递增,而是单调减函数,所以原函数的递减区间是,递增区间是;  值域是.     (2),所以值域是;单调减区间是,单调增区间.     (3).设的定义域是,当时,单调递增,又是单调增函数,所以原函数的递增区间是.

14.解: (1)任取且,则,又=,,故f(x)在上为增函数.

(2)设存在,满足,则,由得,即与假设矛盾,所以方程无负数解.

 


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