数列求和的方法有哪些- 数列求和基本方法

编辑: 逍遥路 关键词: 高中数学 来源: 高中学习网

数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要有一定的技巧。

数列求和基本方法1、分组法

有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.

例如:an=2n+n-1,可看做是2n与n-1的和

Sn=a1+a2+...+an

=2+0+22+1+23+2+...+2n+n-1

=(2+22+...+2n)+(0+1+...+n-1)

=2(2n-1)/(2-1)+(0+n-1)n/2

=2n+1+n(n-1)/2-2

数列求和基本方法2、数学归纳法

一般地,证明一个与正整数n有关的命题,有如下步骤:

(1)证明当n取第一个值时命题成立;

(2)假设当n=k(k≥n的第一个值,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。

例:

求证:

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5

证明:

当n=1时,有:

1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

假设命题在n=k时成立,于是:

1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5

则当n=k+1时有:

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)

= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5

即n=k+1时原等式仍然成立,归纳得证

数列求和基本方法3、通项化归法

先将通项公式进行化简,再进行求和。

如:求数列1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,……的前n项和。此时先将an求出,再利用分组等方法求和。

数列求和基本方法4、并项求和法

(常采用先试探后求和的方法)

例:1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n

方法一:(并项)

求出奇数项和偶数项的和,再相减。

方法二:

(1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(2n-1)-2n]

方法三:

构造新的数列,可借用等差数列与等比数列的复合。

an=n(-1)^(n+1)


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