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圆的方程定义:
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,有三个参数a、b、r,即圆心坐标为(a,b),只要求出a、b、r,这时圆的方程就被确定,因此确定圆方程,须三个独立条件,其中圆心坐标是圆的定位条件,半径是圆的定形条件。
直线和圆的位置关系:
1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点,即把圆的方程和直线的方程联立成方程组,利用判别式Δ来讨论位置关系.
①Δ>0,直线和圆相交.②Δ=0,直线和圆相切.③Δ<0,直线和圆相离.
方法二是几何的观点,即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.
①d<R,直线和圆相交.②d=R,直线和圆相切.③d>R,直线和圆相离.
2.直线和圆相切,这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.
3.直线和圆相交,这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.
切线的性质
⑴圆心到切线的距离等于圆的半径;
⑵过切点的半径垂直于切线;
⑶经过圆心,与切线垂直的直线必经过切点;
⑷经过切点,与切线垂直的直线必经过圆心;
当一条直线满足
(1)过圆心;
(2)过切点;
(3)垂直于切线三个性质中的两个时,第三个性质也满足.
切线的判定定理
经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线长定理
从圆外一点作圆的两条切线,两切线长相等,圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
圆锥曲线性质:
一、圆锥曲线的定义
1.椭圆:到两个定点的距离之和等于定长(定长大于两个定点间的距离)的动点的轨迹叫做椭圆.
2.双曲线:到两个定点的距离的差的绝对值为定值(定值小于两个定点的距离)的动点轨迹叫做双曲线.即.
3.圆锥曲线的统一定义:到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线.当01时为双曲线.
二、圆锥曲线的方程
1.椭圆:+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0)(其中,a2=b2+c2)
2.双曲线:-=1(a>0,b>0)或-=1(a>0,b>0)(其中,c2=a2+b2)
3.抛物线:y2=±2px(p>0),x2=±2py(p>0)
三、圆锥曲线的性质
1.椭圆:+=1(a>b>0)
(1)范围:|x|≤a,|y|≤b(2)顶点:(±a,0),(0,±b)(3)焦点:(±c,0)(4)离心率:e=∈(0,1)(5)准线:x=±
2.双曲线:-=1(a>0,b>0)(1)范围:|x|≥a,y∈R(2)顶点:(±a,0)(3)焦点:(±c,0)(4)离心率:e=∈(1,+∞)(5)准线:x=±(6)渐近线:y=±x
3.抛物线:y2=2px(p>0)(1)范围:x≥0,y∈R(2)顶点:(0,0)(3)焦点:(,0)(4)离心率:e=1(5)准线:x=-
练习题:
1.△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,0),B(3,0),C(3,4),则该三角形外接圆方程是()
A.(x-2)2+(y-2)2=20
B.(x-2)2+(y-2)2=10
C.(x-2)2+(y-2)2=5
D.(x-2)2+(y-2)2=
【解析】选C.易知△ABC是直角三角形,∠B=90°,所以圆心是斜边AC的中点(2,2),半径是斜边长的一半,即r=,所以外接圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=5.
2.已知圆C经过A(5,2),B(-1,4)两点,圆心在x轴上,则圆C的方程是()
A.(x-2)2+y2=13B.(x+2)2+y2=17
C.(x+1)2+y2=40D.(x-1)2+y2=20
【解题指南】根据题意设圆心坐标为C(a,0),由|AC|=|BC|建立关于a的方程,解之可得a,从而得到圆心坐标和半径,可得圆C的标准方程.
【解析】选D.因为圆心在x轴上,
所以设圆心坐标为C(a,0),
又因为圆C经过A(5,2),B(-1,4)两点,
所以r=|AC|=|BC|,可得=,解得a=1,
可得半径r===2,
所以圆C的方程是(x-1)2+y2=20.
3.已知实数x,y满足x2+y2=9(y≥0),则m=的取值范围是()
A.m≤-或m≥B.-≤m≤
C.m≤-3或m≥D.-3≤m≤
【解题指南】m=的几何意义是:半圆上的点(x,y)与(-1,-3)连线的斜率,作出图形,求出直线的斜率即可得解.
【解析】选A.由题意可知m=的几何意义是:半圆上的点(x,y)与(-1,-3)连线的斜率,作出图形,所以m的范围是:m≥=或m≤=-.
故所求m的取值范围是m≤-或m≥.
4.设P(x,y)是圆C(x-2)2+y2=1上任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的值为()
A.6
B.25
C.26
D.36
【解析】选D.(x-5)2+(y+4)2的几何意义是点P(x,y)到点Q(5,-4)的距离的平方,由于点P在圆(x-2)2+y2=1上,这个值是(|QC|+1)2=36.
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