一、选择题
1.用二分法求函数的零点时,初始区间可选为( ).
A. B. C. D.
考查目的:考查函数零点的存在性定理.
答案:B.
解析:∵,,∴,∴初始区间应选为.
2.下列函数图象与轴均有交点,其中能用二分法求函数零点近似值的是( ).
A.① B.② C.③ D.④
考查目的:考查能用二分法求零点的函数必须满足的条件.
答案:C.
解析:能用二分法求零点的函数必须满足在区间上连续不断,且.
3.用二分法求方程在内的近似根,要求精确度为0.01,则至少要使用( )次二分法.
A.5 B.6 C.7 D.8
考查目的:考查精确度的意义及用二分法求方程近似解的基本方法.
答案:C.
解析:精确度为0.01是指二分法停止在二分区间时,区间的长度.对于区间,二分一次区间长度为,二分二次区间长度为,二分三次区间长度为,…,二分六次区间长度为,二分七次区间长度为,故至少要使用七次二分法.
二、填空题
4.设,用二分法求方程在内近似解过程中,得到,,,则方程的根落在的区间是 .
考查目的:考查函数零点存在性定理及用二分法求方程近似解的基本方法.
答案:.
解析:∵,∴答案应该为.
5.用二分法求方程在区间内的实根,取区间中点,那么下一个有根区间是__________.
考查目的:考查二分法求方程近似解的方法.
答案:.
解析:设,由计算器计算得,
,故,∴下一个有根区间是.
6.若函数的一个正数零点附近的函数值部分参考数据如下:
1
1.5
1.25
1.375
1.4375
1.40625
-2
0.625
-0.984
-0.260
0.162
-0.054
那么方程的一个近似根(精确度为0.1)为__________.
考查目的:考查二分法求方程近似解的基本方法与精确度的意义.
答案:.
解析:由表格知,,∴,而
,∴函数的一个零点近似值是,即为方程的一个近似根.
三、解答题
7.求方程的近似解(精确到0.1).
考查目的:考查函数零点的意义、精确度的意义和二分法求方程近似解的基本方法.
答案:1.4.
解析:令,结合与的图象可知方程有唯一解.
∵,∴在区间内,方程有一解,记为.取区间的中点,用计算器可得,∴.取的中点,计算,∴.如此继续下去,得
;
;
;
;
.
∵1.375与1.4375精确到0.1的近似值都是1.4,∴原方程精确到0.1的近似值为1.4.
8.用二分法求函数在区间内的零点(精确到0.1).
考查目的:考查二分法求方程近似解的基本步骤及精确度的理解.
答案:2.3.
解析:∵的定义域为,,
,∴,∴函数在区间内有零点.
又∵在定义域上是单调递增的,
∴函数在区间内只有一个零点.
利用二分法计算,列表如下:
区间
中点值
中点函数近似值
(2,3)
2.5
0.12
(2,2.5)
2.25
-0.08
(2.25,2.5)
2.375
0.023
(2.25,2.375)
2.3125
-0.027
(2.3125,2.375)
2.34375
-0.0016
(2.34375,2.375)
2.359375
0.01
(2.34375,2.359375)
2.3515625
0.0046
(2.34375,2.3515625)
2.34765625
0.0015
(2.34375,2.34765625)
∵2.343 75与2.347 656 25精确到0.1的近似值都是2.3,
∴函数在区间内零点的近似值是2.3.
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