3.1.2 两条直线的平行与垂直(教学设计)

编辑: 逍遥路 关键词: 高中数学 来源: 高中学习网


教学目标

 

(一)知识教学

 

理解并掌握两条直线平行与垂直的条件,会运用条件判定两直线是否平行或垂直.

 

(二)能力训练

 

通过探究两直线平行或垂直的条件,培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力.

 

(三)学科渗透

 

通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究,培养学生的成功意识,合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣.

 

重点:两条直线平行和垂直的条件是重点,要求学生能熟练掌握,并灵活运用.

 

难点:启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题.

 

注意:对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题.

 

教学过程

 

(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直

 

上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直.

 

讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为90°,它们互相平行;(2)当另一条直线的斜率为0时,一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直.

 

(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直

 

设直线 L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?

 

首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形.如果L1∥L2(图1-29),那么它们的倾斜角相等:α1=α2.(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系)

 

∴tgα1=tgα2.

 

即  k1=k2.

 

 

反过来,如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2,那么tgα1=tgα2.

 

由于0°≤α1<180°,  0°≤α<180°,

 

∴α1=α2.

 

又∵两条直线不重合,

 

∴L1∥L2.

 

结论: 两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即

 

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立.即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定.

 

下面我们研究两条直线垂直的情形.

 

如果L1⊥L2,这时α1≠α2,否则两直线平行.

 

设α2<α1(图1-30),甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方;乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方;丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上,无论哪种情况下都有

 

α1=90°+α2.

 

因为L1、L2的斜率分别是k1、k2,即α1≠90°,所以α2≠0°.

 

 

 

 ,     

 

可以推出 : α1=90°+α2.           L1⊥L2.

 

结论: 两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即

 

 

注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.

 

(借助计算机, 让学生通过度量, 感知k1, k2的关系, 并使L1(或L2)转动起来, 但仍保持L1⊥L2, 观察k1, k2的关系, 得到猜想, 再加以验证. 转动时, 可使α1为锐角,钝角等).

 

例题

 

例1  已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.

 

分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略)

 

解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5,

 

直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,

 

因为   k1=k2=0.5, 所以   直线BA∥PQ.

 

 

 

例2  已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想: 四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证)

 

解同上.

 

例3            已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.

例4             

解: 直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,

 

         直线PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2,

 

         因为   k1·k2 = -1  所以   AB⊥PQ.

 

例4 已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.

 

     分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加以验证.(图略)

 

课堂练习

 

P94   练习  1.   2.    

 

课后小结

 

(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件;(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直.

 

(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线.

 

布置作业

 

P94   习题3.1   5.   8.

 

板书设计

 


本文来自:逍遥右脑记忆 http://www.jiyifa.net/gaozhong/154561.html

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