2.1-2 合情推理与演绎推理、直接证明与间接证明

编辑: 逍遥路 关键词: 高中数学 来源: 高中学习网


重难点:了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用;了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理;了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异;了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点;了解间接证明的一种基本方法??反证法;了解反证法的思考过程、特点.

考纲要求:①了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用.

②了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.

③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

④了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点.

⑤了解间接证明的一种基本方法??反证法;了解反证法的思考过程、特点.

经典例题:25. 通过计算可得下列等式:

 

┅┅

将以上各式分别相加得:

即:

类比上述求法:请你求出的值..

 

 

 

 

当堂练习:

1.如果数列是等差数列,则(      )

A.  B.        C.  D.

2.下面使用类比推理正确的是                                         (      )     

A.“若,则”类推出“若,则”

B.“若”类推出“”

C.“若” 类推出“  (c≠0)”

D.“” 类推出“”

3.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数”

结论显然是错误的,是因为   (      )                                              

A.大前提错误    B.小前提错误      C.推理形式错误         D.非以上错误     

4.设,,n∈N,则(      )

A.  B.-      C.  D.-

5.在十进制中,那么在5进制中数码2004折合成十进制为(      )                                                            

A.29       B. 254     C. 602        D. 2004

6.函数的图像与直线相切,则=(      )

A.                     B.                     C.                        D. 1

7.下面的四个不等式:①;②;③ ;④.其中不成立的有 (      )                        

A.1个    B.2个     C.3个    D.4个

8.抛物线上一点的纵坐标为4,则点与抛物线焦点的距离为(      )

A.2  B.3  C.4  D. 5

9.设 , 则(      )

A.                 B. 0               C.                            D. 1

10.已知向量, ,且, 则由的值构成的集合是(      )

A.{2,3}                 B. {-1, 6}              C. {2}                          D. {6}

11. 有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线平面,直线平面,直线∥平面,则直线∥直线”的结论显然是错误的,这是因为(      )                            

A.大前提错误    B.小前提错误      C.推理形式错误       D.非以上错误

12.已知 ,猜想的表达式为(      )           

A.     B.     C.   D.

13. 类比平面几何中的勾股定理:若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直,则三角形三边长之间满足关系:。若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直,则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为                      .

14.从中,可得到一般规律为                  (用数学表达式表示)

15.函数y=f(x)在(0,2)上是增函数,函数y=f(x+2)是偶函数,则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是                 .

16.设平面内有n条直线,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用表示这n条直线交点的个数,则=                ;当n>4时,=                     (用含n的数学表达式表示)

17.证明:不能为同一等差数列的三项.

 

 

18.在△ABC中,,判断△ABC的形状.

 

 

 

19.已知:空间四边形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,判断直线EF与平面ABD的关系,并证明你的结论.

 

20.已知函数,求的最大值.

 

 

 

21.△ABC三边长的倒数成等差数列,求证:角.

 

 

 

22.在各项为正的数列中,数列的前n项和满足

(1) 求;(2) 由(1)猜想数列的通项公式;(3) 求

 

 

 

 

 

23.自然状态下鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响,用表示某鱼群在第年年初的总量,,且>0.不考虑其它因素,设在第年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与成正比,死亡量与成正比,这些比例系数依次为正常数.

   (Ⅰ)求与的关系式;

   (Ⅱ)猜测:当且仅当,满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明)

 

 

 

 

24. 设函数.

(1)证明:;

(2)设为的一个极值点,证明.

 

 

 

25.已知恒不为0,对于任意

等式恒成立.求证:是偶函数.

 

 

26.已知ΔABC的三条边分别为求证:

 

参考答案:

 

经典例题:

[解]                

                ┅┅

将以上各式分别相加得:

所以:

             

 

当堂练习:

1.B; 2.C; 3.C; 4.D; 5.B; 6.B; 7. A; 8.D; 9.D; 10.C; 11.A; 12.B;13.; 14. ; 15. f(2.5)>f(1)>f(3.5); 16. 5; ;

17.证明:假设、、为同一等差数列的三项,则存在整数m,n满足

=+md    ①     =+nd   ②

①n-②m得:n-m=(n-m)   两边平方得: 3n2+5m2-2mn=2(n-m)2 

              左边为无理数,右边为有理数,且有理数无理数

所以,假设不正确。即 、、不能为同一等差数列的三项

18. ABC是直角三角形; 因为sinA=

据正、余弦定理得 :(b+c)(a2-b2-c2)=0; 又因为a,b,c为ABC的三边,所以 b+c0

所以 a2=b2+c2      即ABC为直角三角形.

19.平行;    提示:连接BD,因为E,F分别为BC,CD的中点, EF∥BD.

20.提示:用求导的方法可求得的最大值为0

21.证明:=

为△ABC三边,, .

22.(1);(2);(3).

23.解(I)从第n年初到第n+1年初,鱼群的繁殖量为axn,被捕捞量为bxn,死亡量为

                         

   (II)若每年年初鱼群总量保持不变,则xn恒等于x1, n∈N*,从而由(*)式得

  因为x1>0,所以a>b. 猜测:当且仅当a>b,且时,每年年初鱼群的总量保持不变.

24. 证明:1)

==                              

      2)

    ①  又    ②

由①②知=    所以

25.简证:令,则有,再令即可

26.证明:设

设是上的任意两个实数,且,

因为,所以。所以在上是增函数。

由知      即.

 


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