高三数学寒假作业

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高三数学寒假作业

一、选择题(每小题5分,共60分)

1 .设集合

,集合

,

,则

的值为( )

A.6 B.8 C.10 D.12

2.函数

的定义域是( )

A.

B.

C.

D.

3.

的值为( )

A.

B.4 C.2 D.

4. 如果复数

的实部与虚部互为相反数,则

( )

A.1. B.2. C.

. D.

5.将

的图象向左平移

个单位得到

的图象,则

等于( )

A.

B.

C.

D.

6. 函数

是( )

A.最小正周期为

的奇函数 B. 最小正周期为

的偶函数

C. 最小正周期为

的奇函数 D. 最小正周期为

的偶函数

7. 在等差数列{

}中,

那么数列的前14项之和等于( )

A. 14 B.28 C. 52 D.156

8. 若双曲线

的离心率是

,则实数

的值是( )

A.

B.

C.

D.

9. 若函数

分别是

上的奇函数、偶函数,且满足

,则有( )

A.

B.

C.

D.

10. 直线

与圆

的位置关系是( )

(A)相交且直线过圆心 (B)相切 (C)相交但直线不过圆心 (D)相离

11. 已知不等式

恒成立,则实数a的最小值是( )

A.3 B.2 C.1 D.4

12. 已知球

是棱长为1的正方体

的内切球,

则平面

截球

的截面面积为 ( )

A.

. B.

. C.

. D.

.

二、填空题(每小题5分,共20分)

13.不等式

的解集为 .

14. 若

的值为 .

15.若

对任意实数

,都有

.

16. 已知函数

,等差数列{

}的公差为2,若

三、解答题(共70分)

17、已知函数

.

(Ⅰ)求函数

在区间

上的值域;(Ⅱ)在

中,若

,求

的值.

18、学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项,已知会唱歌的有2人,会跳舞的有5人,

现从中选2人.设

为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数,且

.

(1)求文娱队的人数;

(2)写出

的概率分布列并计算

.

19、已知斜三棱柱

,

,

,

在底面

上的射影恰为

的中点

,又知

.

(Ⅰ)求证:

平面

;

(Ⅱ)求

到平面

的距离;

(Ⅲ)求二面角

的大小.

20、已知函数

.

(Ⅰ)求函数

的单调区间和极值;

(Ⅱ)已知函数

的图象与函数

的图象关于直线

对称,证明当

时,

.

21、已知函数

(1)求函数

的最小值;(2)若

,求证:

.

22、数列

中,

(

是常数,

),且

成公比不为

的等比数列。

(I)求

的值;

(II)求

的通项公式。

(III)由数列

中的第1、3、9、27、……项构成一个新的数列{b

},求

的值。

2012高三数学寒假作业1参考答案

一、选择题

题号123456789101112

答案BDDACABBDDAA

二、填空题

13

14、 0 15、 -1 16、-6

三、解答题

17、解:(Ⅰ)

……2分

…………………4分

,即f (x)的值域为[0,3]………5分

(Ⅱ)由

,∴

…………6分

,∴

…………7分

,∴

…………8分

,得

……10分

18、解:设既会唱歌又会跳舞的有x人,则文娱队中共有(7-x)人,那么只会一项的人数是(7-2 x)人. (I)∵

,∴

.即

.∴x=2.故文娱队共有5人.

(II)

的概率分布列为

012

P

,∴

=

.

19、解法

:(Ⅰ)∵

平面

,∴平面

平面

,

,∴

平面

, 得

,又

,

平面

.…………………4分

(Ⅱ)∵

,四边形

为菱形,故

,

中点,知∴

.取

中点

,则

平面

,从而面

,…………6分

,则

,在

中,

,

,即

到平面

的距离为

.…………………8分

(Ⅲ)过

,连

,则

,

从而

为二面角

的平面角,在

中,

,∴

,…………10分

中,

,

故二面角

的大小为

. …………………12分

解法

:(Ⅰ)如图,取

的中点

,则

,∵

,∴

,

平面

,以

轴建立空间坐标系, …………1分

,

,

,

,

,

,

,

,由

,知

,

,从而

平面

.…………………4分

(Ⅱ)由

,得

.设平面

的法向量

,

,

,

,

,则

.…………6分

∴点

到平面

的距离

.…………………8分

(Ⅲ)设面

的法向量为

,

,

,

.…………10分

,则

,故

,根据法向量的方向

可知二面角

的大小为

.…………………12分

20、(Ⅰ)解:

,令

,由

的单调递减区间是(

);同理,单调递增区间是(

),

……6分

(Ⅱ)证明:由题意可知

,得

,即

,于是

时,

,又

,∴

,从而函数

上是增函数.

,所以当

时,

,即当

成立. …………12分

21、解:(1)

=

,………………2分

时,

,所以当

时,

则函数

上单调递增,

所以函数

的最小值

;…………………………5分

(2)由(1)知,当

时,

①……7分

②………………………10分

由①②得

…………………………12分

22、解:(I)

,因为

成等比数列,

所以

,解得

.

时,

,不符合题意舍去,故

.……4分

(II)当

时,由于

,……

,所以

,故

.当n=1时,上式也成立,

所以

……8分

(III)bn=32n-2-3n-1+2, ∴

=9. ……12分

9解:因为

,用

替换x得:

因为函数

分别是

上的奇函数、偶函数,所以

,又

解得:

,而

单调递增且

,∴

大于等于0,而

,故选

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