《4.2 直线、圆的位置关系(2)》测试题

编辑: 逍遥路 关键词: 高中数学 来源: 高中学习网


一、选择题

1.(2009重庆文)圆和圆(  ).

A.相离        B.相交        C.外切        D.内切

考查目的:考查圆与圆的位置关系的判定.

答案:B.

解析:化圆、方程为标准方程知,它们的圆心分别为(1,0),半径为1;圆(0,2),半径为1,∴,,,∴,∴圆、圆相交.

 

2.(2012湖北)过点P(1,1)的直线,将圆形区域分两部分,使这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为(     ).

A.      B.      C.     D.

考查目的:考查圆的有关性质,以及直线与圆位置关系的综合运用.

答案:A.

解析:要使点P(1,1)的直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大,必须使过点P的圆的弦长达到最小,此时该直线与直线OP垂直. ∵,∴所求直线的斜率为.又∵所求直线经过点P(1,1),∴所求直线的方程为,即.

 

3.(2011江西理)直线与圆C:相交于M,N两点.若,则的取值范围是(  ).

A.       B.      C.      D.

考查目的:考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式的运用.

答案:A.

解析:圆C的圆心坐标为C(3,2),半径为2,且圆C与轴相切.当时,过圆心C作CK⊥MN,垂足为K,则,,∴,即点C(3,2)到直线的距离公式为1,∴,解得,,结合图示可知,的取值范围是.

二、填空题

4.(2012安徽)若直线与圆有公共点,则实数取值范围是      .

考查目的:考查直线与圆的位置关系及其应用.

答案:.

解析:圆的圆心C(,0)到直线的距离为,则 ,∴,∴,解得.

 

5.(2012江西)过直线上点P作圆的两条切线,若两条切线的夹角是,则点P的坐标是__________.

考查目的:考查直线与圆的位置关系的综合运用.

答案:.

解析:如图,由题意知.由切线性质可知.在直角三角形中,,又∵点P在直线上,∴不妨设点P的坐标为,则,即,整理得,即,∴,即点P的坐标为.

 

6.(2012江苏)在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,则的最大值是        .

考查目的:考查圆与圆的位置关系,点到直线的距离公式.

答案:.

解析:∵圆C的方程可化为,∴圆C的圆心为(4,0),半径为1.由题意知,直线上至少存在一点A,以该点为圆心、1为半径的圆与圆C有公共点,∴存在,使得成立,即.∵即为点到直线的距离,∴,解得,∴的最大值是.

 

三、解答题

7.已知圆C:,是否存在斜率为1的直线,使直线被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点,若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.

考查目的:考查直线和圆的位置关系及其综合应用.

答案:或.

解析:化圆C方程为标准方程,其圆心C的坐标为(1,-2).假设存在以AB为直径的圆M,圆心M的坐标为(,).∵CM⊥,∴,∵,∴,整理得,∴①.

又∵直线的方程为,即,∴.

∵以AB为直径的圆M过原点,∴.∵,,∴②.把①代入②得,∴或.

当时,,此时直线的方程为;

当时,,此时直线的方程为.

故存在这样的直线,其方程为或.

 

 

8.(2009江苏)在平面直角坐标系中,已知圆和圆

.

⑴若直线过点A(4,0),且被圆截得的弦长为,求直线的方程;

⑵设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和,它们分别与圆和圆相交,且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.

考查目的:考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式,以及综合分析问题的能力.

答案:⑴或;⑵(,)或(,).

解析:⑴由题设易得直线的斜率存在.设直线的方程为,即.由垂径定理得,圆心到直线的距离,结合点到直线的距离公式得,化简得,解得或,∴直线的方程为或,即或.

⑵设点P坐标为,直线,的方程分别为,,即,.∵直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,∴两圆半径相等.由垂径定理得,圆心到直线的距离与圆心直线的距离相等,∴

,化简得,或.关于的方程有无穷多个解,∴,或,解得点P的坐标为(,)或(,).


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