2.2圆与方程

编辑: 逍遥路 关键词: 高中数学 来源: 高中学习网


考纲要求:①掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.

②能根据给定直线、圆的方程.判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程,判断两圆的位置关系.

③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.

④初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

 

2.2.1 圆的方程

重难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程;了解圆的一般方程的代数特征,能实现一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数,D、E、F.

经典例题:求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标.

 

 

 

当堂练习:

1.点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是(    )

  A.-1<a<1       B.0<a<1      C.a<-1或a>1     D.a=1

2.点P(m2,5)与圆x2+y2=24的位置关系是(    )

  A.在圆内       B.在圆外     C.在圆上         D.不确定

3.方程(x+a)2+(y+b)2=0表示的图形是(    )

  A.点(a,b)      B.点(-a,-b)   C.以(a,b)为圆心的圆     D.以(-a,-b)为圆心的圆

4.已知一圆的圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上,则此圆的方程是(    )

  A.(x-2)2+(y+3)2=13    B.(x+2)2+(y-3)2=13    C.(x-2)2+(y+3)2=52    D.(x+2)2+(y-3)2=52

5.圆(x-a)2+(y-b)2=r2与两坐标轴都相切的充要条件是(    )

A.a=b=r        B.|a|=|b|=r        C.|a|=|b|=|r|0         D.以上皆对

6.圆(x-1)2+(y-3)2=1关于2x+y+5=0对称的圆方程是(    )

  A.(x+7)2+(y+1)2=1     B.(x+7)2+(y+2)2=1     C.(x+6)2+(y+1)2=1      D.(x+6)2+(y+2)2=1

7.如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时,圆心坐标为(    )

  A.(-1,1)        B.(1,-1)        C.(-1,0)        D.(0,-1)

8.圆x2+y2-2Rx-2Ry+R2=0在直角坐标系中的位置特征是(    )

  A. 圆心在直线y=x上     B.圆心在直线y=x上, 且与两坐标轴均相切

  C. 圆心在直线y=-x上     D.圆心在直线y=-x上, 且与两坐标轴均相切

9.如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切于原点,则(    )

  A.D=0,E=0,F0    B.E=0,F=0,D0      C.D=0,F=0,E0      D.F=0,D0,E0

10.如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 所表示的曲线关于直线y=x对称,那么必有(    )

  A.D=E              B.D=F           C.E=F            D.D=E=F

11.方程x4-y4-4x2+4y2=0所表示的曲线是(    )

  A.一个圆      B.两条平行直线      C.两条平行直线和一个圆     D.两条相交直线和一个圆

12.若a0, 则方程x2+y2+ax-ay=0所表示的图形(    )

A.关于x轴对称     B.关于y轴对称      C.关于直线x-y=0对称     D.关于直线x+y=0对称

13.圆的一条直径的两端点是(2,0)、(2,-2),则此圆方程是(    )

  A.x2+y2-4x+2y+4=0     B.x2+y2-4x-2y-4=0       C.x2+y2-4x+2y-4=0      D.x2+y2+4x+2y+4=0

14.过点P(12,0)且与y轴切于原点的圆的方程为 __________________.

15.圆(x-4)2+(y-1)2=5内一点P(3,0),则过P点的最短弦的弦长为 _____,最短弦所在直线方程为___________________.

16.过点(1,2)总可以向圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0作两条切线,则k的取值范围是 _______________.

17.已知圆x2+y2-4x-4y+4=0,该圆上与坐标原点距离最近的点的坐标是 ___________,距离最远的点的坐标是________________.

18.已知一圆与直线3x+4y-2=0相切于点P(2,-1),且截x轴的正半轴所得的弦的长为8,求此圆的标准方程.

 

 

 

 

19.已知圆C:x2+y2-4x-6y+12=0, 求在两坐标轴上截距相等的圆的切线方程.

 

 

 

 

20.已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0表示一个圆,

(1)求t的取值范围;

(2)求该圆半径r的取值范围.

 

 

 

21.已知曲线C:x2+y2-4mx+2my+20m-20=0

(1)求证不论m取何实数,曲线C恒过一定点;

(2)证明当m≠2时,曲线C是一个圆,且圆心在一条定直线上;

(3)若曲线C与y轴相切,求m的值.

 

 

参考答案:

 

经典例题:

解:设所求的圆的方程为:

∵在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于的三元一次方程组,

解此方程组,可得:

∴所求圆的方程为:

得圆心坐标为(4,-3).

或将左边配方化为圆的标准方程,,从而求出圆的半径,圆心坐标为(4,-3)

当堂练习:

1.A; 2.B; 3.B; 4.A; 5.C; 6.A; 7.D; 8.B; 9.C; 10.A; 11.D; 12.D; 13.A; 14. (x-6)2+y2=36; 15. 2,  x+y-3=0; 16. ; 17. (2-,2-), (2+,2+);

18. 解:设所求圆圆心为Q(a,b),则直线PQ与直线3x+4y-2=0垂直,即,(1) 

且圆半径r=|PQ|=,(2)

由(1)、(2)两式,解得a=5或a= -(舍),当a=5时,b=3,r=5, 故所求圆的方程为(x-5)2+(y-3)2=25.

19. 解:圆C的方程为(x-2)2+(y-3)2=1, 设圆的切线方程为=1或y=kx,

   由x+y-a=0,d=.

   由kx-y=0,d=.

   综上,圆的切线方程为x+y-5=0或(2)x-y=0.

20. 解:(1)方程表示一个圆的充要条件是?D2+E2-4F=4(t+3)2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)>0,

即:7t2-6t-1<0,

(2)r2= D2+E2-4F=4(t+3)2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)=-28t2+24t+4=-28(t-)2+,

 

21. 解:(1)曲线C的方程可化为:(x2+y2-20)+m(-4x+2y+20)=0,由,

∴不论m取何值时,x=4, y=-2总适合曲线C的方程,即曲线C恒过定点(4, -2).

(2)D=-4m, E=2m, F=20m-20, D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2

∵m≠2, ∴(m-2)2>0, ∴D2+E2-4F>0, ?∴曲线C是一个圆, 设圆心坐标为(x, y), 则由

消去m得x+2y=0, 即圆心在直线x+2y=0上.

(3)若曲线C与y轴相切,则m≠2,曲线C为圆,其半径r=,

又圆心为(2m, -m),则=|2m|, .


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