一、选择题
1.(2010全国1文)在直三棱柱(侧面都是矩形的棱柱)中,若,
,则异面直线与所成的角等于( ).
A. B. C. D.
考查目的:考查直三棱柱的性质,异面直线所成的角的求法.
答案:C.
解析:延长CA到D,使得,则为平行四边形,就是异面直线与所成的角,又∵三角形为等边三角形,∴.
2.在空间中,下列命题正确的是( ).
A.若∥,∥,则∥ B.若∥,∥,,,则∥
C.若∥,∥,则∥ D.若∥,,则∥
考查目的:考查直线与平面、平面与平面平行的判定.
答案:D.
解析:若∥,∥,则∥或,故A错误;由平面与平面平行的判定定理知,B错误;若∥,∥,则∥或,故C错误.
3.设,,表示三条不同的直线,,表示两个不同的平面,则下列命题不正确的是( ).
A. B.
C. D.
考查目的:考查直线与平面平行、垂直的转化.
答案:D.
解析:由∥,⊥可得,与的位置关系有:∥,,与相交,∴D不正确.
4.(2010宁夏海南)如图,正方体的棱长为1,线段上有两个动点E,F,且,则下列结论中错误的是( ).
A. B.三棱锥的体积为定值
C. D.异面直线所成的角为定值
考查目的:考查空间直线、平面之间平行和垂直关系综合应用的能力.
答案:D.
解析:A正确,易证,从而;B正确,可用等积法求得;C显然正确,∵ ,∴;D错误.
5.(2012重庆理)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和,且长为的棱与长为的棱异面,则的取值范围是( ).
A. B. C. D.
考查目的:考查空间直线与直线之间的位置关系,以及有关计算的能力.
答案:A.
解析:如图所示的四面体,设为中点,在中,
,则,.
6.如图,平面⊥平面,A∈,B∈,AB与两平面,所成的角分别为和,过A、B分别作两平面交线的垂线,垂足为、,则( ).
A.2∶1 B.3∶1 C.3∶2 D.4∶3
考查目的:考查直线与平面所成的角,以及二面角概念的综合运用.
答案:A.
解析:在平面内,过作,且,连结和,因为平面⊥平面,所以和即为和平面和平面所成的角,先解和求线段和的长,再解.
二、填空题
7.如图,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为________.
考查目的:考查直线与直线、直线与平面垂直关系的判定.
答案:4.
解析:由直线与平面垂直关系可知,图中直角三角形共有4个.
8.(2007湖北理)平面外有两条直线和,如果和在平面内的射影分别是和,给出下列四个命题:
①⊥⊥;②⊥⊥;③与相交与相交或重合;④与平行与平行或重合.
其中不正确的命题是 .
考查目的:考查空间两条直线的位置关系.
答案:①②③④.
解析:①如图⊥,但与不垂直;②⊥⊥或与重合;③与相交与相交或重合或异面;④与平行与平行或异面,所以四个命题均不正确.
9.(2010全国1文)在正方体中,与平面所成角的余弦值为________.
考查目的:考查正方体的性质、直线与平面所成的角的求法.
答案:.
解析:∵∥,∴与平面所成的角和与平面所成的角相等.设DO⊥平面,由等体积法得,即
.设,则,,
∴,记与平面所成角为,则,∴.
10.(2009浙江理)如图,在长方形中,,,为的中点,为线段(端点除外)上一动点.现将沿折起,使平面平面.在平面内过点作,为垂足.设,则的取值范围是 .
考查目的:考查直线与平面的位置关系,以及二面角概念的综合应用.
答案:.
解析:当F位于DC的中点时,;随着点F移动到与点C重合时,∵,,∴平面,∴.对于,,∴.又∵,,∴,∴,因此的取值范围是
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