重难点:建立并掌握椭圆的标准方程,能根据已知条件求椭圆的标准方程;掌握椭圆的简单几何性质,能运用椭圆的几何性质处理一些简单的实际问题.
经典例题:已知A、B为椭圆+=1上两点,F2为椭圆的右焦点,若|AF2|+|BF2|=a,AB中点到椭圆左准线的距离为,求该椭圆方程.
当堂练习:
1.下列命题是真命题的是 ( )
A.到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆
B.到定直线和定点F(c,0)的距离之比为的点的轨迹是椭圆
C.到定点F(-c,0)和定直线的距离之比为(a>c>0)的点的轨迹 是左半个椭圆
D.到定直线和定点F(c,0)的距离之比为(a>c>0)的点的轨迹是椭圆
2.若椭圆的两焦点为(-2,0)和(2,0),且椭圆过点,则椭圆方程是 ( )
A. B. C. D.
3.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围为 ( )
A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1)
4.设定点F1(0,-3)、F2(0,3),动点P满足条件,则点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段
5.椭圆和具有 ( )
A.相同的离心率 B.相同的焦点 C.相同的顶点 D.相同的长、短轴
6.若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍,则这个椭圆的离心率为 ( )
A. B. C. D.
7.已知是椭圆上的一点,若到椭圆右准线的距离是,则点到左焦点的距离( )
A. B. C. D.
8.椭圆上的点到直线的最大距离是 ( )
A.3 B. C. D.
9.在椭圆内有一点P(1,-1),F为椭圆右焦点,在椭圆上有一点M,使|MP|+2|MF|的值最小,则这一最小值是 ( )
A. B. C.3 D.4
10.过点M(-2,0)的直线m与椭圆交于P1,P2,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1(),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为 ( )
A.2 B.-2 C. D.-
11.离心率,一个焦点是的椭圆标准方程为 ___________ .
12.与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(-3,2)的椭圆方程为_______________.
13.已知是椭圆上的点,则的取值范围是________________ .
14.已知椭圆E的短轴长为6,焦点F到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆E的离心率等于__________________.
15.已知椭圆的对称轴为坐标轴,离心率,短轴长为,求椭圆的方程.
16.过椭圆引两条切线PA、PB、A、
B为切点,如直线AB与x轴、y轴交于M、N两点.
(1)若,求P点坐标;
(2)求直线AB的方程(用表示);
(3)求△MON面积的最小值.(O为原点)
17.椭圆>>与直线交于、两点,且,其中为坐标原点.
(1)求的值;
(2)若椭圆的离心率满足≤≤,求椭圆长轴的取值范围.
18.一条变动的直线L与椭圆+=1交于P、Q两点,M是L上的动点,满足关系|MP|·|MQ|=2.若直线L在变动过程中始终保持其斜率等于1.求动点M的轨迹方程,并说明曲线的形状.
参考答案:
经典例题:[解析]:设A(x1,y1),B(x2,y2),由焦半径公式有a-ex1+a-ex2=,∴x1+x2=,
即AB中点横坐标为,又左准线方程为,∴,即a=1,∴椭圆方程为x2+y2=1.
当堂练习:
1.D; 2.D; 3.D; 4.A; 5.A; 6.D; 7.B; 8.D; 9.C; 10.D; 11. ; 12. ; 13. ;14. ;
16.[解析]:(1) ∴OAPB的正方形
由 ∴P点坐标为()
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)
则PA、PB的方程分别为,而PA、PB交于P(x0,y0)
即x1x0+y1y0=4,x2x0+y2y0=4,∴AB的直线方程为:x0x+y0y=4
(3)由、
当且仅当.
17. [解析]:设,由OP ⊥ OQ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0
又将
,
代入①化简得 .
(2) 又由(1)知
,∴长轴 2a ∈ [].
18.[解析]:设动点M(x,y),动直线L:y=x+m,并设P(x1,y1),Q(x2,y2)是方程组的解,消去y,得3x2+4mx+2m2-4=0,其中Δ=16m2-12(2m2-4)>0,∴-<m<,且x1+x2=-,x1x2=,又∵|MP|=|x-x1|,|MQ|=|x-x2|.由|MP||MQ|=2,得|x-x1||x-x2|=1,也即
|x2-(x1+x2)x+x1x2|=1,于是有∵m=y-x,∴|x2+2y2-4|=3.由x2+2y2-4=3,得椭圆夹在直线间两段弧,且不包含端点.由x2+2y2-4=-3,得椭圆x2+2y2=1.
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