一、选择题

1.下面四个结论：①数列的图像是一群孤立的点；②数列可看成是一列函数值；③数列的项数是无限的；④数列通项的表达式是唯一的.其中正确的结论是(     ).

A.①　　      B.①②　　       C.②③　        D.①②③

考查目的：考查数列的有关概念及其表示.

答案：A.

解析：数列可看成是定义域为正整数集或正整数集的一个有限子集，当自变量从小到大依次取值时所得到的一列函数值，所以数列的图像是一群孤立的点；数列按项数可分为有穷数列和无穷数列；数列通项的表达式不一定唯一，如周期数列0，2，0，2，……的通项可表示为，也可表示为等.

 

2.(2009湖北文)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是(    ).

A.289                B.1024             C.1225               D.1378

考查目的：考查数列的概念、归纳猜想能力和推理判断能力.

答案：C

解析：由图形可得三角形数构成的数列通项，正方形数构成的数列通项；由可排除D，由或，得，可排除A、B，故选C. 事实上，是第49个三角形数、第35个正方形数.

 

3.(2008江西)在数列中，，，则(    ).

A.      B.       C.      D.

考查目的：考查递推数列的概念、对数的运算性质，考查由递推公式求通项公式的基本方法.

答案：A.

解析：∵，∴()，∴当时， . 又∵也适合上式，∴().

 

二、填空题

4.数列1，2，2，4，3，8，4，16，5，…的一个通项公式是                   .

考查目的：考查数列通项公式的概念、归纳推理能力.

答案：.

解析：.还可以表示为或

或.

 

5.(由2010辽宁理改编)已知数列的通项公式为，则的最小值为________.

考查目的：考查数列的通项公式及函数的单调性等基础知识，考查综合运用知识解决问题的能力.

答案：.

解析：∵，∴，设，则由函数的性质知，在上单调递增，在上单调递减，因为，所以当或时，有最小值.又因为，，所以的最小值为.

 

6.(2012上海文)已知，各项均为正数的数列满足，，若，则的值是             .

考查目的：考查函数的概念、数列的概念和性质等基础知识，考查数列递推公式的运用.

答案：.

解析：∵，，∴；∵，∴，，，，；又由得到，，解得(负值舍去).依次往前推，得到，∴.

 

三、解答题

7.在数列中，.

⑴求证：数列先递增后递减；

⑵求数列的最大项.

考查目的：考查数列的概念、研究数列单调性的基本方法.

答案：⑴当时，递增；当时，递减.⑵.

解析：⑴由得，∴当时，递增；当时，递减.

⑵由⑴可知，为数列的最大项.

 

8.如果每一对兔子每月能生一对新兔，而每一对新兔在出生后的第三个月开始生一对新兔. 假定不发生任何死亡，那么一对新生的兔子在一年后能繁殖成多少对？

考查目的：考查数列的概念、数列的递推公式，考查分析问题解决问题的能力.

答案：144.

解析：记 为个月后兔子的对数，则，，，∵第个月后兔子的对数由两部分组成：一部分为第个月的兔子对数，另一部分是新增加的，增加的对数为第个月的兔子对数，∴ ，由此可得，，，，，，，，.

答：一对新生的兔子在一年后能繁殖成144对.

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