传说在很久很久以前，黄河里跃起一匹龙马，马背上驮着一幅图；洛水里也浮出一只神龟，龟背上也驮着一幅图。这两幅图上都用圆点来表示一组数字，马背上的那幅称为“河图”，龟背上的那幅称为“洛书”。（参见图1-9-1）再后来，经过人们研究，发现图中右边的那幅“洛书”，其实是一幅纵横图，即用1到9这9个数字组成一幅数字图，使它横的每行相加、竖的每列相加以及对角线相加，其和都等于15（参见图1-9-2）。我们知道，纵横图就是今天所说的“幻方”，一般地，是指把从1到十的自然数排成纵横各有m个数，并且使同行、同列及同一对角线上的n个数的和都相等的一种方阵，其中涉及的是组合数学的问题。而前面所说的“洛书”，就是我国最早的一个三阶幻方。

图1-9-1 河图洛书

图1-9-2 纵横图

长期以来，纵横图一直被看作是一种数字游戏。一直到南宋时期的数学家杨辉，才真正把它作为一个数学问题而加以深入的研究。杨辉在他的《续古摘奇算法》一书中，不仅搜集到了大量的各种类型的纵横图，而且对其中的部分纵横图还给出了如何构造的规则和方法，从而开创了这一组合数学研究的新领域。

杨辉给出的方形纵横图共有十三幅，它们是：洛书数（三阶幻方）一幅，四四图（四阶幻方）两幅，五五图（五阶幻方）两幅，六六图（六阶幻方）两幅，七七图（七阶幻方）两幅，六十四图（八阶幻方）两幅，九九图（九阶幻方）一幅，百子图（十阶幻方）一幅（参见图1-9-3）。其中还给出了“洛书数”和“四四阴图”的构造方法。如“洛书数”的构造方法为：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。(参见图1-9-4)

图 1-9-3 百子图

图1-9-4 洛书图

除了以上这些方形的纵横图外，杨辉书中还有一些其他形状的数图，如“聚五图”（见图1-9-5）／聚六图”／聚八图”／攒九图”／八阵图”／连环图”等等。这些都属于纵横图的衍化发展，它们精妙绝伦，耐人寻味，给后世数学家以极大的启发。以后明代数学家程大位、王文素，清代数学家方中通、张潮、保其寿等在这个基础上进一步发展，又创作了“瓜瓞图”。“立方图”（见图1-9-6）。“浑三角图”／六道浑天图”等等，使中国古代的组合数学研究具有了丰富的内容和独特的风格。

图1-9-5 聚五图

图1-9-6 立方图

纵横图在古代主要属于数学游戏，但现在已经在许多实际问题上得到了应用。目前，国际上有不少科学家正在绞尽脑汁研究它的规律。有的科学家甚至设想，如果我们的宇宙飞船飞到了一个有高级智慧生物存在的星球上，用纵横图那样的数学语言，也许可以作为媒介，沟通相互之间的思想呢。

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