一. 教学内容：两条直线的位置关系；点到直线的距离

教学目的：

1. 会通过解方程组发现直线相交、平行、重合的条件；会用两直线相交或平行的条件判断两条直线相交、平行和重合；会求两直线的交点坐标；

2. 理解用勾股定理推导两直线垂直的条件：A1A2＋B1B2＝0或k1k2＝－1，会用这两个条件判断两直线是否垂直；

3. 掌握点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离公式。

二. 重点、难点

重点是两直线平行、垂直的条件；点到直线的距离公式。

难点是理解推导平行和垂直条件的思路和点到直线的距离公式的推导。

分析：

（一）两条直线的位置关系

1. 两直线位置关系的判定

方法1：解两直线方程组成的方程组，由方程组的解的情况判定两直线的位置关系，这种方法虽思路自然，但运算较繁。

方法2：用斜率，但要保证两直线的斜率存在。

l1与l1与 ；

l1与 ；

方法3：系数法

l1与

l1与

l1与 或

计算步骤如下：

（1）给A1、B1、C1，A2、B2、C2赋值；

（2）计算 和 相交；

（4）若 和 平行；

（5）若

设 ；

（3）若M＝0，则 ；若 与 不垂直。

3. 交点

设两条直线的方程分别是 有交点，则方程组 的方程组成的方程组无公共解时，说明直线 重合。

4. 中应注意的问题

（1）在判定两直线的位置关系时，如果斜率不存在，则不能用垂直、平行的条件。而应该直接由图形得到。两直线的位置关系是在直线的斜截式的基础上讨论的，若是其他形式，可先化为斜截式处理。

（2）求两直线 直线方程组成的方程组。其理论依据是直线的方程和方程的直线的概念。两直线相交，则交点同时在这两直线上，交点的坐标一定是两直线方程的解；若这两直线的方程组成的方程组只有一个公共解，则以这个解为坐标的点必是两直线的交点。

（3）在讨论直线的位置关系时，一定要注意特殊情况，即斜率不存在时直线的位置关系。

（4）学习时掌握两条直线平行和垂直的条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系，能够求出两条直线的交点。

（二）点到直线的距离

1. 点到直线的距离公式

点P（x1，y1）到直线 的距离的计算公式：

注意：（1）若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离。

（2）若点P在直线上，点P到直线的距离为零，距离公式仍然适用。

（3）点到n种特殊直线的距离：

①点P（x0，y0）到x轴的距离 ；

③点P（x0，y0）到与x轴平行的直线 的距离 ，当a＝0时，即x轴，

（4）计算步骤为：

①给出点的坐标赋值： ，<2" style='width:168.75pt; > 。由平行线之间的距离的定义知，在其中一条直线<3" style=' > 上任取一点P（x0，y0），作另一条直线 的垂线，垂足为Q，则 就是平行线的距离，即

和<8" > 间的距离。

错解： 。

正确解答：l1：x－2y＋4＝0和l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线

得：

直线l的斜率k＝－3

根据点斜式有

法二： 直线 和l的方程为

直线

（2）法一：解方程组 的交点P（0，2）

直线l的斜率为l的方程为l的方程为 ，求得 的值11，即可以得到 ；与直线 垂直的直线可设为 ；过已知点（ ）且与直线 垂直的直线可直接写出 ， ，其中 是待定系数。该方程不能表示直线 。

例2. 已知直线 ，求满足下列条件的a的取值。

（1） 与 平行；

（3） 与 相交， 或 ，

或2

重合，

或2

与 重合

点评：判断两直线的相交、平行和重合，有明确地判断方法，应用时应首先确定判断方法中需要的各个量，再完整地运用公式即可。不过要特别注意特殊情况下需要特殊判断，灵活处理。

例3. 直线 与 为x＝3， 为 和 垂直

当 时， ， 的方程为 ，显然 且 时，由

解得

即 ，在坐标平面内求一点P，使PA＝PB，且点P到直线

所以线段AB的垂直平分线方程为

即 的距离为2

所以 或

∴所求点的坐标为（1，－4）或

由条件得 或

故所求的直线方程为l//AB或l//AB，且

则l过AB的中点N（1，1），则直线方程为y＝1

∴所求直线方程为y＝1或x＋2y＝0

点评：与定直线的距离为定值的集合是与定直线平行的两条平行直线，因此，由点到直线的距离公式和求轨迹方程的方法即可求得所求的方程。

例6. 求点A（2，2）关于直线2x－4y＋9＝0的对称点的坐标

解析：设B（a, b）是A（2，2）关于直线 是线段AB的垂直平分线

即一方面直线 上

于是有

解得： 的对称点P’（x，y）满足以下两个条件：

①PP’的中点在 ;

②PP’⊥< style=' > ，可得： 与直线 的值为（ ）

A. －3 B. －6 C. 的位置关系是（ ）

A. 平行 B. 重合 C. 相交 D. 不确定

3. 已知直线 的值是（ ）

A. －4 B. 20 C. 0 D. 24

4. 直线 的取值范围是（ ）

A. B. D.

5. 直线 和直线

C. B. C. D. 2

7. 已知点 的距离为1，则 等于（ ）

A. B. 垂直，且在 轴上的截距为2的直线方程是________________。

9. 已知直线 // ，则 ＝_____， ＝_____。

10. 垂直于直线 轴上的截距是________。

11. 若点（3，5）关于直线 平行；

（2）过点P（1，－1）且与直线 轴上求点C，使AC⊥CB。

14. 已知点A（－2，1）、B（4，3），求经过两直线 的交点和线段AB的中点的直线 的方程。

15. △ABC中，BC边上的高所在直线的方程为 ，若顶点B的坐标为（1，2），求顶点A和C的坐标。

【答案】

1～7：B C A A D B C

8. ，由于直线 过点P（2，－1），从而有 ，解得：

（2）由题意，设直线 的方程为

13. 由题意，设点C的坐标为 因为AC⊥CB，所以应有

解得： 或 所以所求点C为（1，0）或（2，0）

14. 由已知，得：线段AB的中点为（1，2）

由 ，解得： ，

所以两直线 的交点为 ，即 ，可得A（－1，0），

又因为B点关于∠A的平分线的对称点B’在AC上，

所以B’的坐标是（1，－2），从而AC所在直线的方程为 。

由直线BC垂直于直线 ，

联立 ，可得C（5，－6）

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