函数综合试题

编辑: 逍遥路 关键词: 高中数学 来源: 高中学习网


 

  一:选择题

 

  1.已知,则则A等于                   (    )

 

     A.15              B.          C.          D.225

 

  2.若0<a<1,且函数,则下列各式中成立的是( )

 

   A.     B.

 

 C.     D.

 

  3.已知则的值等于(    )

 

 A.0            B.           C.           D.9

 

  4.若,则(    )                                  

 

 A.a<b<c       B.c<b<a        C.c<a<b        D.b<a<c

 

  5.已知实数a、b满足等式,下列五个关系式: ① 0<a<b<1;② 0<b<a<1; ③ a=b;④ 1<a<b;⑤ l<b<a.其中不可能成立的关系式有(   )

 

 A.1个           B.2个         C.3个        D.4个

 

  6.若0<a<1,且函数,则下列各式中成立的是( )

 

   A.     B.

 

 C.     D.

 

  7.已知:的不等实根一共有(     )

 

 A、1个      B、2 个        C、3 个       D、4个

 

  8.在计算机的算法语言中有一种函数叫做取整函数(也称高斯函数),它表示的整数部分,即[]是不超过的最大整数.例如:.设函数,则函数的值域为 (      )

 

 A.         B.           C.           D.

 

  9.曲线在原点处的切线方程为

 

 A. B. C. D.

 

  10.设函数 有(       )

 

 A.分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内的三个根   

 

  B.四个实根             

 

 C.分别位于区间(0,1),(1,2),(2,3),(3,4)内的四个根

 

 D.分别位于区间(0,1)(1,2),(2,3),内的三个根 

 

  11.函数的导数是(      )

 

 A.         B.              C.            D.

 

  12.与定积分相等的是(      )

 

 A.   B. C. - D. +

 

  二:填空题

 

  13.由曲线所围成的图形面积是               .

 

  14.一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示,则该汽车在前3小时内行驶的路程为_________km,假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2006km,那么在时,汽车里程表读数与时间的函数解析式为__________。

      

            

 

  15. 函数f(x)=x3-3x2+6x-7的图象是中心对称图形, 其对称中心的坐标为_________ 。

 

  16.给出下列四个命题:

 

①函数(且)与函数(且)的定义域相同;

 

②函数与的值域相同;

 

③函数与都是奇函数;

 

④函数与在区间[0,+)上都是增函数。

 

  其中正确命题的序号是_____________。(把你认为正确的命题序号都填上)

 

  三:解答题

 

  17.(12分)设f (x)=lg(ax2-2x+a),

 

    (1) 如果f (x)的定义域是(-∞, +∞),求a的取值范围;

 

    (2) 如果f (x)的值域是(-∞, +∞),求a的取值范围。

 

 

 

  18.(12分)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为:y=(0<x≤120).已知甲、乙两地相距100千米。

 

  (Ⅰ)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?

 

  (Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

 

  19.(12分)设, 点P是函数的图象的一个公共点, 两函数的图象在点P处有相同的切线.

 

  (1) 用表示a, b, c;

 

  (2) 若函数在上单调递减,求的取值范围.

 

  20.(12分)设函数, 其中,是的导函数.

 

  (1)若,求函数的解析式;

 

  (2)若,函数的两个极值点为满足. 设, 试求实数的取值范围.

 

  21.(14分)已知函数,,且有极值.

 

     (1)求实数的取值范围;

 

     (2)求函数的值域;

 

     (3)函数,证明:,,使得成立.

 

  22.(12分)设f(x)是定义在[0,1]上的函数,若存在x*∈(0,1),使得f(x)在[0, x*]上单调递增,在[x*,1]上单调递减,则称f(x)为[0,1]上的单峰函数,x*为峰点,包含峰点的区间为含峰区间.对任意的[0,l]上的单峰函数f(x),下面研究缩短其含峰区间长度的方法.

 

   (1)证明:对任意的x1,x2∈(0,1),x1<x2,若f(x1)≥f(x2),则(0,x2)为含峰区间;若f(x1)≤f(x2),则(x*,1)为含峰区间;

 

   (2)对给定的r(0<r<0.5=,证明:存在x1,x2∈(0,1),满足x2-x1≥2r,使得由(I)所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r;

 

(3)选取x1,x2∈(0,1),x1<x2,由(I)可确定含峰区间为(0,x2)或(x1,1),在所得的含峰区间内选取x3,由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间.在第一次确定的含峰区间为(0,x2)的情况下,试确定x1,x2,x3的值,满足两两之差的绝对值不小于0.02,且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.(区间长度等于区间的右端点与左端点之差)

 

  函数综合参考答案

 

  一:选择题BDCB,BDDB,DAAC

 

  二:填空题13.e-2      14.220;     15.(1,-3)      16.①③

 

  三:解答题

 

  17.解:(1) ∵f (x)的定义域是(-∞, +∞),

 

         ∴ 当x∈(-∞, +∞)时,都有ax2-2x+a>0, 即满足条件a>0, 且△<0, 4-4a2<0, ∴a>1.(6分)

 

       (2) ∵f (x)的值域是(-∞, +∞),即当x在定义域内取值时,可以使y∈(-∞, +∞).

 

          要求ax2-2x+a可以取到大于零的一切值,∴a>0且△≥0 (4-4a≥0)或a=0,

 

          解得0≤a≤1.……12分

 

  18.解:(I)当时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,

 

        要耗没(升)。……5分

 

       答:当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升。……6分

 

 

 

   (II)当速度为千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为升,

 

       依题意得…………8分

 

            

 

       令得

 

      当时,是减函数;

 

      当时,是增函数。

 

     当时,取到极小值

 

      因为在上只有一个极值,所以它是最小值。………………………………11分

 

    答:当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升。(12分)

 

  19.解: (1) 因为函数, 的图象都过点, 所以,

 

    即.因为 所以. ………………3分

 

    又因为, 在点处有相同的切线, 所以

 

    而……………………………………………5分

 

    将代入上式得 因此故,,………………6分

 

    (2) 解法一: .……8

 

     当时, 函数单调递减.

 

     由, 若; 若

 

     由题意, 函数在上单调递减, 则

 

      所以

 

     又当时, 函数在上单调递减.

 

     所以的取值范围为……………………………………………………12

 

    解法二:

 

    因为函数在上单调递减, 且是

 

    上的抛物线, 所以 即解得

 

    所以的取值范围为………………………………………………………12分

 

   20.解: ………………………………………………1分

 

     (Ⅰ)据题意,…………………………………2分

 

      由知,是二次函数图象的对称轴

 

      又, 故是方程的两根..............4分

 

      设,将代入得

 

        比较系数得:

 

      故为所求.………………………………6分

 

      (其它解法酌情记分)

 

     另解:,…………………….1分

 

     据题意得  ………3分   解得 …………………5分

 

     故为所求.………………………………6分

 

   (Ⅱ)据题意,,则

 

               

 

    又是方程的两根,且

 

     则  ………………………………………8分

 

     则点的可行区域如图………………10分

 

     

 

     的几何意义为点P与点的距离的平方.观察图形知点,A到直线的距离的平方为的最小值  

 

     故的取值范围是…………………………………………………………12分

 

   21.解:(Ⅰ)由求导可得

 

       ……………………………………………………………………………… 1分

 

     令 ………………………………………………………………     2分

 

     可得     ∵      ∴     ∴

 

    又因为 

 

+

0

单调递增

极大值

单调递减

   

 

      所以,有极值 …………………………………… ……………………………………3分

 

   所以,实数的取值范围为.……………………………………………………4分

 

  (Ⅱ)由(Ⅰ)可知的极大值为………………………………5分

 

   又∵ , …………………………………………………………6分

 

   由,解得

 

   又∵

 

   ∴当时,函数的值域为…………………   7分

 

     当时,函数的值域为. …………………………8分

 

   (Ⅲ)证明:由求导可得

 

          

 

     令,解得

 

     令,解得或 ………………………………       10分

 

     又∵

 

       ∴在上为单调递增函数……………………………………………………12分

 

         ∵ ,

 

    ∴在的值域为∵ ,,

 

     ∴,

 

         

 

         ∴,,使得成立. …………………………14分

 

    22(1)证明:设x*为f(x) 的峰点,则由单峰函数定义可知,f(x)在[0, x*]上单调递增,在[x*,1]上单调递减.

 

     当f(x1)≥f(x2)时,假设x*(0,x2),则x1<x2<x*,从而f(x*)≥f(x2) >f(x1),这与f(x1)≥f(x2)矛盾,所以x*∈(0,x2),即(0,x2)是含峰区间.

 

     当f(x1)≤f(x2)时,假设x*( x2,1),则x*<≤x1<x2,从而f(x*)≥f(x1)>f(x2),

 

     这与f(x1)≤f(x2)矛盾,所以x*∈(x1,1),即(x1,1)是含峰区间.……4分

 

      (2)证明:由(I)的结论可知:

 

     当f(x1)≥f(x2)时,含峰区间的长度为l1=x2;当f(x1)≤f(x2)时,含峰区间的长度为l2=1-x1;

 

        对于上述两种情况,由题意得

 

                                  ①

 

     由①得1+x2-x1≤1+2r,即x1-x1≤2r.

 

     又因为x2-x1≥2r,所以x2-x1=2r,              ②

 

     将②代入①得x1≤0.5-r, x2≥0.5-r,          ③

 

     由①和③解得 x1=0.5-r, x2=0.5+r.

 

     所以这时含峰区间的长度l1=l1=0.5+r,即存在x1,x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r.…………………………………………8分

 

     (3)解:对先选择的x1;x2,x1<x2,由(II)可知x1+x2=l,           ④

 

       在第一次确定的含峰区间为(0, x2)的情况下,x3的取值应满足x3+x1=x2, ⑤

 

       由④与⑤可得,当x1>x3时,含峰区间的长度为x1.

 

      由条件x1-x3≥0.02,得x1-(1-2x1)≥0.02,从而x1≥0.34.

 

      因此,为了将含峰区间的长度缩短到0.34,只要取x1=0.34,x2=0.66,x3=0.32.…12分


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