2.4抛物线

编辑: 逍遥路 关键词: 高中数学 来源: 高中学习网


重难点:建立并掌握抛物线的标准方程,能根据已知条件求抛物线的标准方程;掌握抛物线的简单几何性质,能运用抛物线的几何性质处理一些简单的实际问题.

经典例题:如图, 直线y=x与抛物线y=x2-4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=-5交于Q点. (1)求点Q的坐标;(2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B)的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.

 

 

当堂练习:

1.抛物线的焦点坐标是                                          (    )

A.           B.   C.       D.

2.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,其上的点到焦点的距离为5,则抛物线方程为(    )

     A.       B.   C.       D.

3.抛物线截直线所得弦长等于                             (    )

A.           B.     C. D.15

4.顶点在原点,坐标轴为对称轴的抛物线过点(-2,3),则它的方程是          (    )

A.或                B.或   

C.                           D.

5.点到曲线(其中参数)上的点的最短距离为    (    )

       A.0          B.1              C.    D.2

6.抛物线上有三点,是它的焦点,若 成等差数列,则                                                    (    )

A.成等差数列               B.成等差数列 

C.成等差数列               D.成等差数列

7.若点A的坐标为(3,2),为抛物线的焦点,点是抛物线上的一动点,则 取得最小值时点的坐标是                                   (    )

       A.(0,0)        B.(1,1)       C.(2,2)            D.

8.已知抛物线的焦点弦的两端点为,,则关系式

的值一定等于                                                  (    )

A.4p             B.-4p           C.p2         D.-p

9.过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P,Q两点,若线段PF与FQ的长分别是,则                                                 (    )

A.           B.             C.       D.

10.若AB为抛物线y2=2px (p>0)的动弦,且|AB|=a (a>2p),则AB的中点M到y轴的最近距离是                               (    )

  A.a          B.p           C.a+p       D.a-p

11.抛物线上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为        ______________.

12.已知圆,与抛物线的准线相切,则   ___________.

13.如果过两点和的直线与抛物线没有交点,那么实数a的取值范围是          .

14.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件;

(1)焦点在y轴上;        (2)焦点在x轴上;

(3)抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;(4)抛物线的通径的长为5;

(5)由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1).

其中适合抛物线y2=10x的条件是(要求填写合适条件的序号)       ______.

15.已知点A(2,8),B(x1,y1),C(x2,y2)在抛物线上,△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合(如图)

(1)写出该抛物线的方程和焦点F的坐标;

(2)求线段BC中点M的坐标;

(3)求BC所在直线的方程.

 

 

 

16.已知抛物线y=ax2-1上恒有关于直线x+y=0对称的相异两点,求a的取值范围.

 

 

 

 

 

17.抛物线x2=4y的焦点为F,过点(0,-1)作直线L交抛物线A、B两点,再以AF、BF为邻边作平行四边形FARB,试求动点R的轨迹方程.

 

 

 

18.已知抛物线C:,过C上一点M,且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线.

(1)若C在点M的法线的斜率为,求点M的坐标(x0,y0);

(2)设P(-2,a)为C对称轴上的一点,在C上是否存在点,使得C在该点的法线通过点P?若有,求出这些点,以及C在这些点的法线方程;若没有,请说明理由.

 

 

参考答案:

 

经典例题:【解】(1) 解方程组 得 或

即A(-4,-2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).由kAB==,直线AB的垂直平分线方程

y-1=(x-2).  令y=-5, 得x=5, ∴Q(5,-5).

  (2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, x2-4).∵点P到直线OQ的距离

d==,,∴SΔOPQ==.

  ∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上, ∴-4≤x<4-4或4-4<x≤8.

∵函数y=x2+8x-32在区间[-4,8] 上单调递增,  ∴当x=8时, ΔOPQ的面积取到最大值30.

 

当堂练习:

1.C; 2.D; 3.A; 4.B; 5.B; 6.A; 7.C; 8.B; 9.C; 10.D; 11. ; 12. 2; 13. ;14. (2),(5);

 

 

15.[解析]:(1)由点A(2,8)在抛物线上,有,

解得p=16. 所以抛物线方程为,焦点F的坐标为(8,0).

(2)如图,由于F(8,0)是△ABC的重心,M是BC的中点,所以F是线段AM的

定比分点,且,设点M的坐标为,则

,解得,

所以点M的坐标为(11,-4).

(3)由于线段BC的中点M不在x轴上,所以BC所在

的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为:

由消x得,

所以,由(2)的结论得,解得

因此BC所在直线的方程为:

16.[解析]:设在抛物线y=ax2-1上关于直线x+y=0对称的相异两点为P(x,y),Q(-y,-x),则

 ,由①-②得x+y=a(x+y)(x-y),∵P、Q为相异两点,∴x+y≠0,又a≠0,

∴,代入②得a2x2-ax-a+1=0,其判别式△=a2-4a2(1-a)>0,解得.

17.[解析]:设R(x,y),∵F(0,1), ∴平行四边形FARB的中心为,L:y=kx-1,代入抛物线方程得x2-4kx+4=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=4,且△=16k2-16>0,即|k|>1    ①,

,∵C为AB的中点.

∴   

,消去k得x2=4(y+3),由① 得,,故动点R的轨迹方程为x2=4(y+3)( ).

18. [解析]:(1)由题意设过点M的切线方程为:,代入C得,

则,,即M(-1,).

(2)当a>0时,假设在C上存在点满足条件.设过Q的切线方程为:,代入

,则,

且.若时,由于,

∴ 或  ;若k=0时,显然也满足要求.

∴有三个点(-2+,),(-2-,)及(-2,-),

且过这三点的法线过点P(-2,a),其方程分别为:

x+2y+2-2a=0,x-2y+2+2a=0,x=-2.

当a≤0时,在C上有一个点(-2,-),在这点的法线过点P(-2,a),其方程为:x=-2.

 


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