对数函数是数学函数中的一种，它的解法在很大一程度上是比较有规律的。依据图形解题是比较快的一种解题方式。解这方面的问题，关键在于学会作图。对数函数实际上是指数函数的反函数。

一、对数的一些相关概念

一般地，如果a(a大于0，且a不等于1)的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log aN=b,读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。一般地，函数y=log(a)X，(其中a是常数，a>0且a不等于1)叫做对数函数，它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=a^y。

真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零， 　　底数则要大于0且不为1

。对数函数的底数为什么要大于0且不为1?

【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的。但是，根据对数定义： log以a为底a的对数;如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数(比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等)】

通常我们将以10为底的对数叫常用对数(common logarithm),并把log10N记为lgN。另外，在科学技术中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数(natural logarithm)，并且把loge N 记为In N。根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：

当a 〉0，a≠ 1时，a^X=N→X=logaN。 　　由指数函数与对数函数的这个关系，

可以得到关于对数的如下结论： 　　负数和零没有对数 　　loga 1=0 log以a为底a的对数为1(a为常数)

二、对数的基本性质

当a>0且a≠1时，M>0,N>0，那么：

(1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

(2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

(3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M) (n∈R)

(4)log(a^n)(M)=(1/n)log(a)(M)(n∈R)

(5)换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1)

(6)a^(log(b)n)=n^(log(b)a) 证明： 　　设a=n^x则a^(log(b)n)=(n^x)^log(b)n=n^(x·log(b)n)=n^log(b)(n^x)=n^(log(b)a)

(7)对数恒等式：a^log(a)N=N;

三、对数函数常用的表达式

(1)log(a)(b)=log(a)(b) 　　(2)lg(b)=log(10)(b) 　　(3)ln(b)=log(e)(b)

四、对数函数重点例题讲解

1.函数y=f(x)是定义域为[-6，6]的奇函数。又知y=f(x)在[0，3]上是一次函数，在[3，6]上是二次函数，且当x属于[3，6]时，f(x)小于等于f(5)=3,f(6)=2,试求y=f(x)的解析式。

答:函数y=f(x)是定义域为[-6，6]的奇函数。又知y=f(x)在[0，3]上是一次函数，在[3，6]上是二次函数，且当x属于[3，6]时，f(x)小于等于f(5)=3,f(6)=2,

可设 f(x)=a(x-5)^2+3 a<0

f(6)=2

则 a+3=2解得 a=-1

故 f(x)=-(x-5)^2+3=-x^2+10x-22 3<=x<=6

f(3)=-1 f(0)=0

则 0<=x<=3 f(x)=-x/3

函数y=f(x)是定义域为[-6，6]的奇函数

故 -3-6<=x<=-3 f(x)=x^2+10x+22

综合 -6<=x<=-3 f(x)=x^2+10x+22

-3 0<=x<=3 f(x)=-x/3

3<=x<=6 f(x)=-x^2+10x-22

试求y=f(x)的解析式。

2.已知函数f(x)=(x-a)/(x-2),若a属于R，且方程f(x)=-x恰有一根落在区间(-2，-1)内，求a的取值范围.

答:f(x)=-x

(x-a)/(x-2)=-x

x^2-x-a=0

令g(x)=x^2-x-a

1°g(x)与x轴有一个交点

△=1+4a=0=>a=-1/4

x=1/2不属于(-2,-1)

a不等于-1/4

2°g(x)与x轴有两个交点

△>0且g(-1)*g(-2)<0=>a属于(2，6)

所以a属于(2,6)

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