圆的标准方程(1)

编辑: 逍遥路 关键词: 高中数学 来源: 高中学习网


  教学目标

(一)知识目标

1.掌握圆的标准方程:根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程,能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径;

2.理解并掌握切线方程的探求过程和方法。

(二)能力目标

1.进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力;

2. 通过教学,使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、证明等合情推理方法,提高学生运算能力、逻辑思维能力;

3. 通过运用圆的标准方程解决实际问题的学习,培养学生观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力。

(三)情感目标

通过运用圆的知识解决实际问题的学习,理解理论来源于实践,充分调动学生学习数学的热情,激发学生自主探究问题的兴趣,同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。

  教学重、难点

(一)教学重点

圆的标准方程的理解、掌握。

(二)教学难点

圆的标准方程的应用。

  教学方法

选用引导?探究式的教学方法。

  教学手段

   借助多媒体进行辅助教学。

  教学过程

Ⅰ.复习提问、引入课题

师:前面我们学习了曲线和方程的关系及求曲线方程的方法。请同学们考虑:如何求适合某种条件的点的轨迹?

生:①建立适当的直角坐标系,设曲线上任一点M的坐标为(x,y);②写出适合某种条件p的点M的集合P={M ?p(M)};③用坐标表示条件,列出方程f(x,y)=0;④化简方程f(x,y)=0为最简形式。⑤证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点(一般省略)。[多媒体演示]

师:这就是建系、设点、列式、化简四步曲。用这四步曲我们可以求适合某种条件的任何曲线方程,今天我们来看圆这种曲线的方程。[给出标题]

师:前面我们曾证明过圆心在原点,半径为5的圆的方程:x2+y2=52 即x2+y2=25.

    若半径发生变化,圆的方程又是怎样的?能否写出圆心在原点,半径为r的圆的方程?

生:x2+y2=r2.

师:你是怎样得到的?(引导启发)圆上的点满足什么条件?

生:圆上的任一点到圆心的距离等于半径。即 ,亦即 x2+y2=r2.

师:x2+y2=r2 表示的圆的位置比较特殊:圆心在原点,半径为r.有时圆心不在原点,若此圆的圆心移至C(a,b)点(如图),方程又是怎样的?

生:此圆是到点C(a,b)的距离等于半径r的点的集合,

由两点间的距离公式得                               

   即:(x-a)2+(y-b)2= r2

Ⅱ.讲授新课、尝试练习

师:方程(x-a)2+(y-b)2= r2 叫做圆的标准方程. 

    特别:当圆心在原点,半径为r时,圆的标准方程为:x2+y2=r2.

师:圆的标准方程由哪些量决定?

生:由圆心坐标(a,b)及半径r决定。

师:很好!实际上圆心和半径分别决定圆的位置和大小。由此可见,要确定圆的方程,只需确定a、b、r这三个独立变量即可。

1、     写出下列各圆的标准方程:[多媒体演示]

   ① 圆心在原点,半径是3   :________________________

   ② 圆心在点C(3,4),半径是 :______________________

③ 经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3):_______________________

2、  变式题[多媒体演示]

①     求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。

     答案:(x-1)2 + (y-3)2 =

      ② 已知圆的方程是 (x-a)2 +y2 = a2 ,写出圆心坐标和半径。  

           答案: C(a,0),  r=|a|

Ⅲ.例题分析、巩固应用

师:下面我们通过例题来看看圆的标准方程的应用.

[例1]            已知圆的方程是 x2+y2=17,求经过圆上一点P(,)的切线的方程。

师:你打算怎样求过P点的切线方程?

生:要求经过一点的直线方程,可利用直线的点斜式来求。

师: 斜率怎样求?

生:。。。。。。

师:已知条件有哪些?能利用吗?不妨结合图形来看看(如图)

生:切线与过切点的半径垂直,故斜率互为负倒数

  半径OP的斜率 K1=, 所以切线的斜率 K=-=-

所以所求切线方程:y-= -(x-)

即:x+y=17   (教师板书)

        师:对照圆的方程x2+y2=17和经过点P(,)的切线方程x+y=17,你能作出怎样的猜想?

生:。。。。。。

 

师:由x2+y2=17怎样写出切线方程x+y=17,与已知点P(,)有何关系?

(若看不出来,再看一例)

[例1/]  圆的方程是x2+y2=13,求过此圆上一点(2,3)的切线方程。

         答案:2x+3y=13  即:2x+3y-13=0

师:发现规律了吗?(学生纷纷举手回答)

生:分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x和一个y,便得到了切线方程。

师:若将已知条件中圆半径改为r,点改为圆上任一点(xo,yo),则结论将会发生怎样的变化?大胆地猜一猜!

生:xox+yoy=r2.

师:这个猜想对不对?若对,可否给出证明?

生:。。。。。。

[例2]已知圆的方程是 x2+y2=r2,求经过圆上一点P(xo,yo)的切线的方程。

解:如图(上一页),因为切线与过切点的半径垂直,故半径OP的斜率与切线的斜率互为负倒数

  ∵半径OP的斜率 K1=,∴切线的斜率 K=-=-

∴所求切线方程:y-yo= - (x-xo)

即:xox+yoy=xo2+yo2   亦即:xox+yoy=r2. (教师板书)

 

   当点P在坐标轴上时,可以验证上面方程同样适用。

归纳总结:圆的方程可看成 x.x+y.y=r2,将其中一个x、y用切点的坐标xo、yo 替换,可得到切线方程

[例3]右图为某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20M,拱高OP=4M,在建造时每隔4M需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度。(精确到0.01M)

        引导学生分析,共同完成解答。

   师生分析:①建系; ②设圆的标准方程(待定系数);③求系数(求出圆的标准方程);④利用方程求A2P2的长度。

   解:以AB所在直线为X轴,O为坐标原点,建立如图所示的坐标系。则圆心在Y轴上,设为

(0,b),半径为r,那么圆的方程是   x2+(y-b)2=r2.

∵P(0,4),B(10,0)都在圆上,于是得到方程组:

 

解得:b=-10.5 ,r2=14.52

∴圆的方程为 x2+(y+10.5)2=14.52.

将P2的横坐标x=-2代入圆的标准方程

且取y>0

得:y=

     ≈14.36-10.5=3.86 (M)

答:支柱A2P2的长度约为3.86M。

Ⅳ.课堂练习、课时小结

课本P77练习2,3

师:通过本节学习,要求大家掌握圆的标准方程,理解并掌握切线方程的探求过程和方法,能运用圆的方程解决实际问题.

Ⅴ.问题延伸、课后作业

(一)若P(xo,yo)在圆(x-a)2+(y-b)2= r2上时,?求过P点的圆的切线方程。

课本P81习题7.7 : 1,2,3,4

(二)预习课本P77~P79

 

教学设计说明

  设计思想:

在教学过程中,教师遵循数学发展规律,并依据建构主义教育理论,创设一系列数学实验环境,在情境中让学生观察、类比、猜想、尝试、探索、归纳并引导加以证明,强调主动建构,从深层次加强学生对知识的感知度,使学生能更好地理解和掌握圆的标准方程。

  设计理念:

设计的根本出发点是促进学生的发展。教师以合作者的身份参与,课堂上建立平等、互助、融洽的关系,师生共同研究,共同提高。

  设计思路:

本节课的设计与教材的呈现方式有所不同,教材只是教学的蓝本,教师在理解教材编写意图的基础上,应发挥主观能动作用,对教材资源进行再加工、再创造,这样教学有利于认知结构与知识结构的有机结合,也有利于学生从深层次理解和掌握圆的标准方程。鉴于此,本节在给出圆的标准方程的过程中,运用简单、特殊的到复杂、一般的数学思想,使用了观察、猜测、经验归纳等方法进行合情地推理,同时引导学生对照圆的几何形状,观察和欣赏圆的方程,体会数学中的美――对称、简洁。圆的标准方程的应用是本节的难点。为了突破难点,设计三个例题。第一、二个例题,从特殊到一般给出切线方程,培养学生探究问题的兴趣,不断完善自己的认知结构。第三个例题,充分利用多媒体的动感演示,刺激学生的感官,引起更强的注意,从而使学生理解理论来源于实践,充分调动学生学习数学的热情,激发学生自主探究问题的兴趣,增强应用意识;同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。最后设计了“问题延伸”,让学生带着问题走进课堂,又带着问题走出课堂,激发学生不断求知、不断探索的欲望。

在整个教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来,教师的每项措施都是为了力求给学生创造一种思维情境,一种动手、动脑、动口并且主动参与学习的机会,激发学生求知的欲望,促使学生掌握知识,解决问题。

  媒体设计:

  采用powerpoint媒体。本节知识容量大,同时又有图形。为了在短时间内完成教学内容,故采用演示文稿的方式,增加信息量,节省时间。同时动态演示图形,刺激学生的感官,引起更强的注意,提高课堂教学效率。


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