一、选择题
1.(2008陕西卷)已知是等差数列,,,则该数列前10项和等于( )
A.64 B.100 C.110 D.120
考查目的:考查等差数列的通项公式与前项和公式及其基本运算.
答案:B
解析:设的公差为. ∵,,∴两式相减,得,.∴,.
2.(2011全国大纲理)设为等差数列的前项和,若,公差,,则( )
A.8 B.7 C.6 D.5
考查目的:考查等差数列通项公式的应用、前项和的概念.
答案:D
解析:由得,,即,将,代入,解得.
3.(2012浙江理)设是公差为的无穷等差数列的前项和,则下列命题错误的是( )
A.若,则数列有最大项 B.若数列有最大项,则
C.若数列是递增数列,则对任意,均有
D.若对任意,均有,则数列是递增数列
考查目的:考查等差数列的前项和公式及其性质.
答案:C
解析:根据等差数列的前项和公式,可得,因为,所以其图像表示的一群孤立的点分布在一条抛物线上. 当时,该抛物线开口向下,所以这群孤立的点中一定有最高点,即数列有最大项;反之也成立,故选项A、B的两个命题是正确的. 选项C的命题是错误的,举出反例:等差数列-1,1,3,5,7,…满足数列是递增数列,但.对于选项D的命题,由,得,因为此式对任意都成立,当时,有;若,则,与矛盾,所以一定有,这就证明了选项D的命题为真.
二、填空题
4.(2011湖南理)设是等差数列的前项和,且,,则 .
考查目的:考查等差数列的性质及基本运算.
答案:81.
解析:设的公差为. 由,,得,. ∴,故.
5.(2008湖北理)已知函数,等差数列的公差为. 若,则 .
考查目的:考查等差数列的通项公式、前项和公式以及对数的运算性质,考查运算求解能力.
答案:.
解析:∵是公差为的等差数列,∴,∴,∴,∴ .
6.(2011广东理)等差数列前9项的和等于前4项的和. 若,,则____.
考查目的:考查等差数列的性质及基本运算.
答案:10.
解析:设等差数列前项和为. ∵,∴;∵,∴. ∴,故.
三、解答题
7.设等差数列的前项和为,且,求:
⑴的通项公式 及前项和;
⑵.
考查目的:考查等差数列通项公式、前项和的基本应用,考查分析问题解决问题的能力.
答案:⑴; .⑵
解析:设等差数列的公差为,依题意,得,解得.
⑴;
⑵由,得.
当时,.
当时,
,
∴
8.(2010山东理)已知等差数列满足:,,的前项和为.
⑴求及;
⑵令,求数列的前项和.
考查目的:考查等差数列的通项公式与前项和公式等基础知识,考查数列求和的基本方法以及运算求解能力.
答案:⑴,;⑵.
解析:⑴设等差数列的公差为,因为,,所以有,解得,,所以,.
⑵由⑴知,所以,所以,即数列的前项和.
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