三、解答题
12.设,且,如果函数在上的最大值为14,求的值.
考查目的:考查指数的运算、指数函数的性质和二次函数在闭区间上的最值,以及转化化归思想.
答案:或.
解析:令,则.当时,,在时取得最大值,即,解得;当时,,在时取得最大值,即,解得.综合以上两点得,或.
13.已知对数函数,若对于任意的都有成立,试求的取值范围.
考查目的:考查对数函数图象与性质,以及数形结合思想和分类讨论思想.
答案:.
解析:函数的图象如图所示.由图可知,要使对于任意的都有成立 ,只需,即,∴,变形得.当时,;当时,.
综上所述,的取值范围是.
14.已知函数(,,).
⑴求的定义域;⑵判断的奇偶性;⑶讨论的单调性,并证明.
考查目的:考查函数的定义域与奇偶?,以及复合函数的单调性的判断与证明.
答案:⑴;⑵奇函数;⑶当时,单调递减;当时,单调递增.
解析:⑴解得,函数的定义域为;⑵∵,∴为奇函数;⑶证明:设,则,
.
当时,,∴在上为减函数;同理在上也为减函数;当时,,∴在,上为增函数.
15.(2012上海理20改编)已知函数.
⑴若,求的取值范围;
⑵若是偶函数,,且当时,有,求函数()的解析式.
考查目的:考查对数函数的性质、函数的概念与奇偶性、分段函数等基本知识,以及综合运用所学知识解决问题的能力.
答案:⑴;⑵.
解析:⑴由得.由即,得 ,即,解得,∴的取值范围是.
⑵当时,.∵当时,,∴.又∵,∴,∴.由是偶函数得,
(),∴函数()的解析式为.
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