一、选择题
1.(2011上海理)若,且,则下列不等式中,恒成立的是( ).
A. B. C. D.
考查目的:考查基本不等式基础知识.
答案:D.
解析:选项A在时不成立,选项B、C在时不成立.
2.(2009重庆文)已知,则的最小值是( ).
A.2 B. C.4 D.5
考查目的:考查基本不等式的应用.
答案:C.
解析:,当且仅当,且,即时取“=”号.
3.(2012浙江文)若正数满足,则的最小值是( ).
A. B. C.5 D.6
考查目的:考查基本不等式,以及不等式的证明和求最值中常用的一种方法――“1”的代换.
答案:C.
解析:∵,,∴,∴ ,当且仅当时取“=”号.
二、填空题
4.(2011湖南理)设,则的最小值为 .
考查目的:考查基本不等式及其等号成立的条件.
答案:9.
解析:,当且仅当时取“=”号.
5.(2008江苏卷)已知,,则的最小值是 .
考查目的:考查二元基本不等式的运用.
答案:3.
解析:由得,代入得,,当且仅当 时取“=”号.
6.(2010安徽文)若,则下列不等式:①;②;③ ;④;⑤,其中对一切满足条件的恒成立的是 (写出所有正确命题的编号).
考查目的:考查不等式的性质、基本不等式的应用,以及推理论证能力.
答案:①③⑤.
解析:∵,∴,①为真.令可得②④为假.∵
,∴③为真.又∵,∴⑤为真.
三、解答题
7.已知直角中,周长为,面积为,求证:.
考查目的:考查勾股定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识,考查推理论证能力.
解析:设直角的两直角边长为,则斜边长为,面积,∴周长,∴,∴ ,即.
8.(2009湖北文)围建一个面积为的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为的进出口,如图所示. 已知旧墙的维修费用为元/,新墙的造价为元/,设利用的旧墙的长度为(单位:),修建此矩形场地围墙的总费用为(单位:元).
⑴将表示为的函数:
⑵试确定,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.
考查目的:考查函数和不等式等基础知识,考查用基本不等式求最值和运用数学知识解决实际问题的能力.
答案:⑴;⑵时,元.
解析:⑴根据题意,旧墙的维修费用为元,建新墙的费用为元,所以.
⑵∵,∴,∴,当且仅当,即时,等号成立,此时取得最小值.
答:当时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是元.
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